Treść zadania
Autor: kasia_1999 Dodano: 2.3.2020 (19:22)
1.
a) Wykaż, że przekątna sześcianu o krawędzi a ma długość a√3.
b) Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, którego przekątna jest o 2 dłuższa od jego krawędzi.
2. Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 3 cm jest dwa razy większa od jego pola powierzchni bocznej. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa i cosinus kąta, który ta przekątna tworzy z krawędzią boczną
Zadanie jest zamknięte. Autor zadania wybrał już najlepsze rozwiązanie lub straciło ono ważność.
Najlepsze rozwiązanie
Rozwiązania
0 odpowiada - 0 ogląda - 1 rozwiązań
1 0
antekL1 3.3.2020 (11:10)
Zadanie 1.
a)
Weź proszę trójkąt którego przeciwprostokątna jest przekątną sześcianu,
a przyprostokątnymi są:
- przekątna podstawy o długości d
- bok sześcianu o długości a
Jeśli L oznacza długość przekątnej sześcianu to z tw. Pitagorasa mamy:
L^2 = a^2 + b^2 ; [ czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu" ]
Długość przekątnej podstawy to d = a√2, bo jest to przekątna kwadratu o boku a.
Wobec tego
d^2. = 2a^2 ; stąd L^2 = 3a^2 ; Pierwiastkujemy i mamy L = a√3
-----------------------------------
b)
Obliczymy długość boku (oznaczamy ją przez 'a').
Wtedy pole powierzchni całkowitej wynosi P = 6a^2.
Z części (a) zadania i warunku, że przekątna jest o 2 dłuższa od krawędzi mamy:
a√3 = a + 2 ; stąd:
a (√3 - 1) = 2 ; stąd [ mnożymy obie strony przez (√3 + 1) ]
a (√3 - 1) (√3 + 1) = 2 (√3 + 1) ; stąd:
a(3-1) = 2 (√3 + 1) ; czyli
a = √3 + 1 ; obliczamy a^2
a^2 = (√3 + 1)^2 = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
Pole P = 6a^2 = 24 + 12√3
===========================================================
Zadanie 2.
Oznaczmy długości krawędzi:
a - długość krawędzi podstawy (która jest kwadratem)
h = 3 - wysokość graniastosłupa (prostopadła do podstawy)
Pole powierzchni bocznej to Pb = 4 a h
Pole powierzchni całkowitej to Pc = 4 a h + 2 a^2
Z warunków zadania: Pc = 2 Pb; czyli
4 a h + 2 a^2 = 2 * 4 a h ; stąd:
2 a^2 = 4 a h ; stąd
a = 2 h ; wstawiamy h = 3 i mamy a = 6 cm.
Niech d = a√2 będzie długością przekątnej podstawy.
Niech L będzie długością przekątnej graniastosłupa (porównaj zadanie 1a)
Wtedy:
L^2 = h^2 + d^2
L^2 = h^2 + 2a^2 ; wstawiamy dane
L^2 = 3^2 + 2 * 6^2 = 81 ; czyli szukane L = 9
Kosinus kąta: cos(fi) = h / L = 3 / 9 = 1 / 3
=====================================================
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie