Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 30.10.2018 (16:09)

  [ Poniżej zapis "log_a b" oznacza "logarytm o postawie 'a' z wielkości 'b " ]
  
  Zadanie 3.
  a)
  | log_(1/3) |x| | - 4 = m
  Przenosimy 4 na prawą stronę i analizujemy funkcję f(x) = | log_(1/3) |x| |
  Ponieważ we wzorze jest wartość bezwzględna |x| to wystarczy przeprowadzić rozumowanie dla x > 0. Takie same wnioski będziemy mieli dla x < 0.
  
  Dziedziną | log_(1/3) |x| jest D = R \\\\ { 0 } gdyż dla niezerowych x argument |x| jest zawsze dodatni. Wykres tej funkcji masz w załączniku "wykresA.pdf".
  
  Dla x > 0 log_(1/3) x jest funkcją malejącą od +oo do -oo. Wyrażenie to przyjmuje wartość zero dla x = 1. Dla x > 1 ze względu na wartość bezwzględną wykres f(x) "odbija się" od osi OX i dąży do +oo.
  Stąd wnioski:
  
  Dla m + 4 < 0 czyli dla m < - 4 brak rozwiązań
  Dla m + 4 = 0 czyli dla m = - 4 jest dwa rozwiązania (x =1 lub x = -1)
  Dla m + 4 > 0 czyli dla m > - 4 jest cztery rozwiązania (para dodatnich x, i para ujemnych x)
  
  Te ostatnie rozwiązania można zobaczyć przecinając czerwony wykres poziomą prostą prowadzoną nad osią OX)
  =========================================
  
  b)
  - | log_4 |x| | + 2 = m
  Mnożymy obie strony przez -1 i przenosimy -2 na prawo. Mamy:
  | log_4 |x| |= - m + 2
  
  Teraz analizujemy funkcję f(x) = | log_4 |x| |
  Jest to praktycznie TO SAMO, co co w punkcie (a), wykres prawie identyczny, dziedzina taka sama. Jedyna różnica to fakt, że log_4 x dąży od -oo do +oo, ale i tak wartość bezwzględna "odbija" fragmenty wykresu pod osią OX nad tą oś.
  
  Wnioski (trzeba ostrożniej !)
  Dla - m + 2 < 0 ; czyli dla m > 2 brak rozwiązań
  Dla - m + 2 = 0 czyli dla m = 2 jest dwa rozwiązania (x =1 lub x = -1)
  Dla - m + 2 > 0 czyli dla m < 2 jest cztery rozwiązania (para dodatnich x, i para ujemnych x)
  =========================================
  
  c)
  | log x^2 | + 4 = m^2 ; tutaj zakładam, że "log" to logarytm dziesiętny.
  Ze względu na x^2 pod logarytmem dziedzina jest identyczna jak w poprzednich przykładach.
  Przenosimy 4 na lewą stronę i analizujemy f(x) = | log x^2 |
  Znów mamy identyczny prawie wykres jak poprzednio.
  
  Wnioski są trudniejsze.
  
  Gdy m^2 - 4 < 0 mamy zero rozwiązań. Ale ta nierówność prowadzi do:
  m^2 < 4
  czyli: dla m w przedziale (-2; 2) jest zero rozwiązań
  
  Gdy m^2 - 4 = 0 czyli gdy m = - 2 lub m = 2 jest 2 rozwiązania
  
  Dla pozostałych m w przedziale (- oo; - 2) U (2; +oo) jest cztery rozwiązania
  =========================================
  
  W razie pytań lub gdy się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykresa.pdf (5 KB)

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj