Treść zadania

Rozwiązania

• 

  4 1

  antekL1 11.9.2017 (08:05)

  Dana jest liczba s= 1^1+2^2+3^3+4^4+5^5+6^6+7^7+8^8+9^9. Uzasadnij że ma ona nie więcej niż 10 cyfr
  
  Każdy ze składników tej sumy jest mniejszy niż 10^9 = 1 000 000 000
  czyli od 10-cyfrowej liczby mającej na początku "1" i potem zera.
  
  Jest 9 składników sumy, więc nawet jeśli każdy z nich zwiększymy do 1 000 000 000
  to suma NIE będzie większa niż 9 000 000 000,
  a ta liczba ma 10 cyfr.
  Dokładny wynik sumowania to: 405 071 317, jak chcesz wiedzieć :)
  ===================================
  
  Ile wynosi cyfra jedności liczby 3^401+5^401+10^401 ?
  
  Składnik 10^401 ma na końcu zero więc nic nie wnosi do sumy ostatnich cyfr.
  Składnik 5^401 ma na końcu 5, jak każda naturalna potęga liczby 5.
  
  Składnik 3^401 przeanalizujemy. Zobaczmy, jakie są kolejne potęgi liczby 3.
  3^0 = 1
  3^1 = 3
  3^2 = 9
  3^3 = 27
  3^4 = 81 <------------ ostatnia cyfra jest taka jak w 3^0
  3^5 = 243 <------------ ostatnia cyfra jest taka jak w 3^1
  3^6 = 729 <------------ ostatnia cyfra jest taka jak w 3^2
  i tak dalej.
  
  Czyli na końcu jest:
  1 - gdy potęga ma postać: 4n, tzn. dla potęg 0, 4, 8, 12, ...
  3 - gdy potęga ma postać: 4n + 1, tzn. dla potęg 1, 5, 9, 13,,,,,
  9 - gdy potęga ma postać: 4n + 2, tzn. dla potęg 2, 6, 10, 14,...
  7 - gdy potęga ma postać: 4n + 3, tzn. dla potęg 3, 7, 11, 15,...
  
  Liczbę 401 można zapisać jako 4 * 100 + 1, czyli ma postać 4n + 1.
  Ostatnią cyfrą będzie więc 3.
  
  Gdy dodamy cyfry jedności to mamy:
  3 - ze składnika 3^401
  5 - ze składnika 5^401
  0 - ze składnika 10^401
  Razem daje to 3 + 5 + 0 = 8 i to jest odpowiedź do zadania.
  ===================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj