Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 15.5.2017 (09:49)

  Zadanie 2.
  a)
  Używając podanych równań prostych możemy wyrazić współrzędne y, z przez x.
  Prosta L1:
  (x - 1) / (-1) = (y + 3) / 2 ; stąd y = -2x - 1
  (x - 1) / (-1) = (-z + 1) / (-3) ; stąd z = -3x + 4
  Prosta L2:
  (x - 1) / 2 = (y - 2) / 1; stąd y = x/2 + 3 / 2
  (x - 1) / 2 = (z - 3) / (-4); stąd z = -2x + 5
  
  Prosta L1 składa się więc z punktów o współrzędnych: (t, -2t -1, -3t + 4)
  Analogicznie prosta L2 to zbiór: (s, s/2 + 3/2, -2s + 5)
  
  Mamy równania prostych w postaci parametrycznej.
  Jeśli te proste się przecinają to układ równań:
  t = s
  -2t - 1 = s/2 + 3/2
  -3t + 4 = -2s + 5
  musi być liniowo zależny i mieć jedno rozwiązanie.
  Okazuje się, że ma i jest to s = t = -1.
  Podstawiamy x = -1, wyliczamy y = 1 oraz z = 7
  Szukany punkt to: (-1; 1, 7)
  =====================================================
  
  b)
  Wstawiamy x, y, z ze wzoru prostej do równania płaszczyzny:
  (1+t) + (-3t) + (4 - t) - 7 = 0; upraszczamy:
  3t + 2 = 0 ; stąd
  t = - 2 / 3
  Wstawiamy tą wartość do równań prostej:
  x = 1 - 2/3 = 1/3
  y = -3 * (-2/3) = 2
  z = 4 - (-2/3) = 14/3
  Szukany punkt to: (1/3; 2, 14/7)
  =====================================================
  
  c)
  Wymnażamy nawiasy i zapisujemy równania płaszczyzn jako
  P1: (x,y,z) = (r + s, -2r - s, 4r + 3s)
  P2: (x,y,z) = (1 + t - u, -1 + t, 1 + t)
  P3: (x,y,,z) = (2 + v, 3 - 2w, 3 - w)
  Porównujemy współrzędne P1 i P2. Mamy 3 równania:
  r + s = 1 + t - u
  2r - s = -1 + t
  4r + 3s = 1 + t
  Z tych równań wyliczamy r, s, u w zależności od t
  r = -2t + 1
  s = 3t - 1
  u = 3t
  Wstawiamy r, s, u do równań P1 i P2
  (x,y,z) = (1 - 2t, -1 + t, 1 + t)
  To, co wyszło, to parametryczne równanie prostej wzdłuż której przecinają się P1 i P2.
  
  Analogicznie postępujemy z płaszczyznami P2 i P3
  P2: (x,y,z) = (1 + t - u, -1 + t, 1 + t)
  P3: (x,y,z) = (2 + v, 3 - 2w, 3 - w)
  1 + t - u = 2 + v
  -1 + t = 3 - 2w
  1 + t = 3 - w
  Dwa ostatnie równania mają rozwiązanie ścisłe: t = 0, w = 2.
  Wstawiamy te wartości do równań płaszczyzn:
  P2: (x,y,z) = (1 - u, -1, 1)
  P3: (x,y,z) = (2 + v, -1, 1)
  Pierwsze współrzędne dają związek: 1 - u = 2 + v ; stąd v = - u - 1
  Równanie parametryczne prostej przecięcia P2 i P3 to:
  (x,y,z) = (1 - u, -1, 1)
  
  Punkt przecięcia płaszczyzn musi spełniać oba równania parametryczne czyli układ:
  1 + t - u = 1 - u
  -1 + t = -1
  1 + t = 1
  musi mieć rozwiązanie. Ma: t = u = 0
  Wstawiamy te wartości i mamy szukany punkt: (1, -1, 1)
  =====================================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodaj komentarz - Zgłoś nadużycie

  Zaloguj się lub załóź konto aby dodać komentarz.

  Dodaj