Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 30.3.2017 (01:50)

  Stosujemy twierdzenie prawdziwe dla wielomianów o współczynnikach rzeczywistych:
  "Jeśli liczba z jest pierwiastekiem wielomianu to liczba z_sprzężone także nim jest."
  
  Górny przykład.
  Drugim rozwiązaniem jest z1_sprzężone czyli z2 =2 - i
  
  Wielomian ma więc postać:
  [ zwróć uwagę, że przy z^2 jest wpółczynnik 1, inaczej nie dostaniemy 1z^4 ]
  w(z) = (z^2 + Az + B)(z - 2 - i)(z -2 + i) = 0 ; wymnażamy nawiasy
  w(z) = (z^2 + Az + B)(z^2 - 4z + 5) ; i dalej
  w(z) = z^4 + (A - 4) z^3 + (-4A + B + 5) z^2 + (5A - 4B) z + 5B = 0
  Porównujemy to z wielomianem z zadania, co daje aż za dużo równań.
  Wybieramy najprostsze, reszta MUSI się zgodzić.
  A - 4 = -6 ; stąd A = -2
  5B = 25 ; stąd B = 5
  
  Pierwszy nawias porównujemy do zera: z^2 - 2z + 5 = 0 ; mamy pozostałe rozwiązania:
  z3 = 1 - 2i
  z4 = 1 + 2i ; też są oczywiście sprzężone.
  =========================================
  
  Środkowy przykład.
  Ze sprzężenia: z3 = -i ; z4 = i * pierwiastek(2)
  Wielomian ma postać:
  (z^2 + Az + B)(z - i)(z + i) [z + i pierw(2) ] [z - i pierw(2) ] ; wymnażamy
  (z^2 + Az + B)(z^4 + 3z^2 + 2) ; i dalej, najprostsze równania dają:
  2A = -4 ; stąd A = -2
  2B = 4 ; stąd B = 4
  Rozwiązujemy równanie: z^2 - 2z + 2 = 0 ; co daje:
  z5 = 1 - i
  z6 = 1 + i
  =========================================
  
  Dolny przykład.
  Ze sprzężenia: z3 = 1 + i ; z4 = 2 + i * pierwiastek(3)
  w(z) = (z^2 + Az + B)(z -1 + i)(z - 1 - i) [ z - 2 + i pierw(3) ] [ z - 2 - i pierw(3) ] = 0
  w(z) = (z^2 + Az + B)(z^4 - 6z^3 +17z^2 - 22z + 14) ; co daje:
  A - 6 = -6 ; stąd A = 0
  14 B = 14 ; stąd B = 1
  Równanie: z^2 + 1 = 0 daje rozwiązania:
  z5 = i
  z6 = - i
  =========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie