Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 28.3.2017 (18:11)

  We wszystkich przykładach warto zapisać potęgowaną liczbę zespoloną w postaci "kątowej", zastosować wzór:
  
  z^n = [ r e^(i fi) ]^n = r^n e ^ (n i fi)
  
  a potem wrócić do postaci "algebraicznej".
  ===========================================
  
  Przykład z lewej strony.
  Moduł liczby "1 + i * pierwiastek(3)" wynosi: pierwiastek(1 + 3) = 2.
  Wobec tego:
  z = 1 + i * pierwiastek(3) = 2 * (cos 60 + i * sin 60) = 2 * e ^ (i pi / 3)
  
  Po podniesieniu do potęgi 8 [ wzór na początku tego tekstu ]mamy:
  z^8 = 2^8 * e ^ ( 8i pi / 3) = 256 * e ^ (2i pi / 3)
  gdyż wielokrotności 2 pi "wyrzucamy" z wykładnika, ponieważ:
  e ^ (2 pi i + i fi) = e^(2 pi i) * e^(i fi) = e^(i fi) ; gdyż e^(2 pi i) = 1.
  
  Kąt 2 pi / 3 ma takie funkcje:
  cos (2 pi / 3) = - 1/2
  sin (2 pi / 3) = pierwiastek(3) / 2
  więc całe wyrażenie to: 128 [ -1 + i * pierwiastek(3) ]
  ===========================================
  
  Przykład środkowy.
  Tu się trochę trzeba naliczyć.
  Moduł licznika (wewnątrz potęgi) to pierwiastek(2), kąt to 45 stopni czyli
  licznik = [ pierwiastek(2) * e ^ (i pi / 4) ] ^ 22 = 2^11 * e ^ (22 i pi / 4)
  Moduł mianownika (wewnątrz potęgi) to 2, kąt to 150 stopni, czyli:
  mianownik = [ 2 * e ^ ( 11 pi i / 6 ] ^6 = 2^6 * e ^ (11 pi i)
  
  Dzielenie oznacza dzielenie modułów i odejmowanie argumentów, więc końcowy wynik:
  całość = - 2^5 * e ^ (pi i / 2) = - 32 i
  Minus wziął się z odejmowania wykładników ( wychodzi - 11/2)
  i "sprowadzenia" tego przez dodanie 5 pi, co daje + 1/2 pi, ale zmienia znak.
  jak chcesz, sprawdź to sobie na kątach :)
  ===========================================
  
  Przykład z prawej strony.
  Tu od razu (gdyż moduł liczby pod potęgą wynosi 1) mamy kąt - 60 stopni, więc:
  z^77 = [ e ^ ( - i pi / 3 ) ] ^77 = e^(-77 i pi / 3) = [ wywalamy wielokrotność 2 pi ]
  = e ^ ( i pi / 3) = (1/2) (cos 60 + i sin 60) = (1 / 2) + i pierwiastek(3) / 2
  ===========================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie