Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 1

  antekL1 14.2.2017 (12:13)

  1) Obliczyć pochodną:
  e^3x*arctg√3x+1
  
  Nie wiem, czy poprawnie rozumiem wzór tej funkcji:
  f(x) = e^(3x) * arctg [ √ (3x+1) ] <--------- NAWIASY !!! Pamiętaj o nich !
  Na wszelki wypadek piszę w LaTeX'u jak to próbowałem odczytać. Jeśli to nie taka funkcja to rozwiązanie jest złe.
  
  f(x)=e^{3x}\cdot\arctan\left(\,\sqrt{3x+1}\,\,\right)
  
  Obliczamy pochodną iloczynu funkcji : f = g * h.
  Funkcja g(x) = e^(3x)
  Funkcja h(x) = arctg [ √ (3x+1) ]
  
  Stosujemy wzór: f ' = g ' h + g h ' <----------- wzór (1)
  
  Obliczamy g ' (x) . Jest to funkcja złożona g(x) = e^y ; gdzie y = 3x.
  Stosujemy wzór na pochodną funkcji złożonej: g ' (x) = g ' (y) * y ' (x)
  Zapis " g ' (y) " traktuj tak: Różniczkujemy e^y po y [ czyli dostajemy e^y ]
  Zapis y ' (x) to po prostu (3x) ' , dostajemy 3.
  Czyli: [ e^(3x) ] ' = 3 e^(3x)
  
  PRZEPRASZAM, jeśli to wszystko wiesz, ale ja nie wiem, ile Ty wiesz o pochodnych :)
  Poza tym jest to wprawka w liczeniu drugiej części wzoru (1).
  Jak dotąd mamy policzone: g ' f = 3 e^(3x) * arctg [ √ (3x+1) ]
  
  Funkcja h(x) jest TRZYKROTNIE złożona: h ( z ( t(x) ) ) gdzie:
  t(x) = 3x + 1. Jest to najbardziej wewnętrzna funkcja i jej pochodna to 3.
  z(t) = √t. Pochodna jest równa : 1 / (2√t) = 1 / [ 2 √(3x + 1) ]
  h(z) = arctg(z). Pochodna - z tablic albo z wykładu, albo z sieci to:
  h ' (z) = 1 / (1 + z^2) = 1 / [ 1 + (√t)^2 ] = 1 / (1 + 3x + 1) = 1 / (2 + 3x)
  
  Teraz jak się domyślasz pochodna h ' (x) jest iloczynem h ' (z) * z ' (t) * t ' (x)
  Dostajemy:
  h ' (x) = 3 / [ 2 (2 + 3x) * √(3x + 1) ]
  
  Zbieramy razem wszystkie obliczone fragmenty i podstawiamy do wzoru (1).
  Zapiszę to w LaTeX'u, bo wynik jest nieprzyzwoicie długi:
  
  f'(x)=3e^{3x}\left[\arctan\left(\sqrt{3x+1} \right ) +\frac{1}{2(3x+2)\sqrt{3x+1})}\right]
  
  =================================================
  
  2)Wyznaczyć granicę ciągów:
  lim->∞ (√n^2+n)-(√n^2-n+1)
  
  Znów kwesta zapisu NAWIASÓW. Podejrzewam, że chodzi o coś takiego:
  lim n->∞ [ √(n^2 + n) - √(n^2 - n + 1) ] ; zapiszę to w LaTeX'u:
  
  \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-n+1}\right)
  
  Uwaga co do poprawności rozwiązania - jak poprzednio.
  Tu jest różnica dwóch pierwiastków "bliskich sobie" i jest szansa, że ta różnica będzie skończona. Granicę liczymy tak, że mnożymy i dzielimy całość przez SUMĘ tych pierwiastków, korzystając z zależności:
  (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 ; w ten sposób pozbędziemy się pierwiastków w liczniku.
  
  Tutaj: a = √(n^2 + n) ; b = √(n^2 - n + 1) ; po wykonaniu powyższej operacji mamy:
  
  Licznik = (n^2 + n) - (n^2 - n + 1) = 2n - 1
  Mianownik = √(n^2 + n) PLUS √(n^2 - n + 1)
  Dzielimy licznik i mianownik przez n. Całe wyrażenie to:
  
  lim n->∞ (2 - 1/n) / [ √(1 + 1/n) + √(1 - 1/n + 1/n^2) ]
  
  gdy n->∞ to 1/n oraz 1/n^2 -> 0 i dostajemy 2 / (1 + 1) = 1
  
  Czyli szukana granica = 1.
  
  =================================================
  
  Proszę, zamieść dwa pozostałe zadania oddzielnie, bo ten tekst staje się za długi!
  
  Poza tym mam sugestię - ludzie chętniej rozwiązują po jednym zadaniu niż całe zestawy. Wiem, że traci się punkty za dodanie zadania, ale to rozwiąż coś komuś innemu i punty zyskasz :)
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 14.2.2017 (12:54)

    Do zadania 3 umieść je proszę osobno, ale może wystarczy wskazówka:
    Zróżniczkuj. Wychodzi: f ' (x) = -4/x + x = 0 ; stąd zera pochodnej to -2 i 2.
    Ale x = -2 NIE należy do dziedziny funkcji więc jest minimum w x = 2.

  • 

    antekL1 14.2.2017 (12:49)

    Do zadania 4 - umieść je proszę osobno, ale może wystarczy wskazówka:
    całkujesz x * sin(x) przez CZĘŚCI różniczkując x, całkując sinus.

  • 

    antekL1 14.2.2017 (12:45)

    Co do zadania 1: Gdyby się pojawiła różnica pierwiastków stopnia 3
    to też jest wzór:
    (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
    Mnożąc i dzieląc przez (a^2 + ab + b^2) pozbywasz się pierwiastków.
    A propos zadania 2: Możesz spotkać pochodną z funkcji np: 2^x.
    (czyli NIE e^x, ale 2^x)
    Wtedy podstawiamy; 2^x = e^ [ ln(x) ]. Pamiętaj o tym chwycie!
    Spróbuj dla wprawy zróżniczkować: x^x.
    Wynik to: [ 1 + ln(x) ] x^x
    Powodzenia!