Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 2.2.2017 (03:36)

  1.
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika i mamy granicę:
  lim [ sin(x) - x ] / [ x sin(x) ] dla x --> 0.
  
  Jest to granica typu 0 / 0. Licznik i mianownik są różniczkowalne w otoczeniu x = 0,
  można stosować regułę de l'H. Różniczkujemy osobno licznik i mianownik.
  
  LICZNIK ' = cos(x) - 1
  MIANOWNIK ' = x cos(x) + sin(x)
  
  Ponownie mamy granicę typu 0 / 0. Różniczkujemy raz jeszcze:
  
  LICZNIK ' ' = -sin(x)
  MIANOWNIK ' ' = 2 cos(x) - x sin(x)
  
  Gdy x---> 0 to LICZNIK ' ' --> 0 oraz MIANOWNIK ' ' --> 2
  
  Szukana granica wynosi więc 0 / 2 = 0
  ==============================================
  
  2.
  Najpierw liczymy punkt przecięcia. Mamy równanie: x = x e^(2x - 1) ; stąd:
  albo x = 0 <-------- pierwszy punkt przecięcia
  albo e^(2x - 1) = 1 ; czyli 2x - 1 = 0 ; czyli x = 1/2 <----------- drugi punkt przecięcia.
  
  Liczymy pochodną f ' (x) = (1 + 2x) e^(2x - 1)
  
  a)
  Punkt przecięcia (0,0). Pochodna w tym punkcie: f ' (0) = e^(-1) = 1 / e.
  Styczna ma równanie:
  y = x / e + b ; musi przechodzić przez (0,0) więc b = 0.
  Styczna: y = x / e
  
  b)
  Punkt przecięcia (1/2, 1/2). Pochodna w tym punkcie f ' (x) = 2
  Styczna ma równanie:
  y = 2x + b ; i musi przechodzić przez (1/2, 1/2) więc b = - 1/2
  Styczna: y = 2x - 1 / 2
  ==============================================
  
  3.
  Nie mogę się doczytać wykładników.
  Jeśli jest to x^2 w liczniku oraz x^3 + 1 w mianowniku to po prostu podstawiasz:
  y = x^3 + 1 ; stąd dy = 3 dx^2 i całka przechodzi w (1/3) całka (1 / pierwiastek(y) dy
  a ta całka już jest bardzo prosta.
  Wychodzi (2/3) pierwiastek (1 + x^3) + C
  Ale - jak piszę - nie mogę się doczytać wykładników.
  ==============================================
  
  4.
  Wykres jest w załączniku.
  Krzywe przecinają się gdy -x = 2x - x^2 ; stąd: x (x - 3) = 0
  punkty przecięcia: x = 0 oraz x = 3.
  
  Liczymy całkę:
  całka_od 0 do 3 [ 2x - x^2 - (-x) ] dx = całka_od 0 do 3 [ 3x - x^2 ] dx =
  = [ (3/2) x^2 - (1/3) x^3 ] w granicach 0 i 3
  = (3/2) * 3^2 - (1/3) * 3^3 = 9 / 2
  ==============================================

  Załączniki

  • wykres.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie