Treść zadania

Zadanie 1.0:

Rzucamy monetą. Zdefiniuj zmienną losową i określ rozkład prawdopodobieństwa dla tego eksperymentu losowego, jeżeli wiadomo, że moneta nie jest uczciwa i prawdopodobieństwo wyrzucania reszki (tzw. prawdopodobieństwo "sukcesu", p) jest równe 2/3.
Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej z przykładu.

Zadanie 1.1:

Rzucamy trzykrotnie monetą. W każdym z rzutów możemy otrzymać reszkę (R) lub orła (O). Wyrzucenie reszki będziemy określać jako sukces, orła jako porażkę. Prawdopodobieństwo sukcesu (oznaczamy p lub π) wynosi 0,5. Sukces możemy oznaczyć liczbą 1, a porażkę liczbą 0 (Xi = {0, 1}). Określ zmienną losową Y dla trzykrotnego rzutu monetą (n = liczba rzutów/identycznych monet = 3), Y = X1 + X2 + X3. Ponadto:

a) zbuduj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Y (przedstaw go w tabeli (jako rozkład częstości) i w układzie współrzędnych);

b) wyznacz wartość średnią (wartość oczekiwaną) zmiennej Y;

c) oblicz wariancję zmiennej Y.

d) jak zmienią się powyżej uzyskane wyniki, gdy prawdopodobieństwo sukcesu π będzie równe 0,75?

Ponadto, dla zmiennej losowej z zadania, zweryfikuj prawdziwość następujących formuł:
E(Y) = n*p
Var(Y) = n*p*(1-p)

Zadanie nr 2:

Wiadomo, że w pewnej grupie wyborców poparcie dla partii A wynosi w pewnym momencie (t0) dokładnie 50% (0,5). Z tej populacji wyborców wybrano 4 osoby (n = 4). Zbuduj rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej Y = X1 + X2 + X3 + X4, gdzie Xi = {0, 1}. Cyfra 1 oznacza prawdopodobieństwo sukcesu, czyli wybrania do próby osoby deklarującej poparcie dla partii A, a cyfra 0 oznacza zdarzenie przeciwne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w próbie n = 4, pojawi się czterech wyborców popierających A?