Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 6.12.2016 (01:45)

  Zad. 1.
  Oznaczmy: j - obecny wiek Jacka; p - obecny wiek Piotra. Mamy dwa równania:
  
  j - 2 = 2(p - 2) <----------- sytuacja sprzed 2 lat
  (j + 2) + (p + 2) = 26 <---------- sytuacja za dwa lata
  
  Z pierwszego równania : j = 2p - 2 ; wstawiamy j do drugiego równania
  
  2p - 2 + 2 + p + 2 = 26 ; stąd:
  3p = 24
  p = 8 <---------- Piotr ma 8 lat
  j = 2 * 8 - 2 = 14 <--------------- Jacek ma 14 lat
  
  Sprawdzamy:
  Dwa lata temu Piotr miał 6 lat, Jacek 12 lat i był 2 razy starszy. Zgadza się.
  Za dwa lata: Piotr będzie miał 10 lat, Jacek 16 lat. Razem - 26. Zgadza się.
  ============================
  
  Zad. 2.
  [ Czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu", np: 3^2 = 9 ]
  Wymnażamy nawiasy w obu równaniach
  
  0,5 x^2 + 1,5 x - 0,5 x + y = 1 + 0,5 x^2
  x^2 - 6xy + 9y^2 - x^2 = 9y^2 - 3y + 3 - 6xy - 6x ; skracamy co się da
  
  x + y = 1
  0 = - 3y + 3 - 6x ; to równanie dzielimy przez 3 i dostajemy równania:
  
  x + y = 1
  2x + y = 1
  Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego:
  x = 0 więc
  y = 1
  ============================
  
  Zad. 3.
  Oznaczmy przez x masę ODlanej solanki, przez y masę DOlanej solanki.
  
  Po odlaniu x solanki w naczyniu jest 10 - x kilogramów roztworu.
  W tym jest 10% czyli 0,1 * (10 - x) = 1 - 0,1x kilogramów soli.
  
  Dolewamy y kg roztworu 6% czyli dodajemy 0,06y kg soli otrzymując 6 kg roztworu,
  czyli
  
  10 - x + y = 6 <---------- pierwsze równanie
  
  Soli jest w tej chwili: 1 - 0,1x + 0,06y kilogramów. Solanka jest 7%, czyli:
  
  1 - 0,1x + 0,06y = 0,07 * 6 <--------- drugie równanie
  
  Z pierwszego równania dostajemy x = y + 4. Wstawiamy to do drugiego równania:
  
  1 - 0,1(y + 4) + 0,06y = 0,42 ; wymnażamy nawias
  1 - 0,1y - 0,4 + 0,06y = 0,42 ; czyli
  -0,04y = -0,18 ; stąd
  y = 0,18 / 0,04 = 4,5 kg <------------- tyle solanki DOlano.
  x = 4,5 + 4 = 8,5 kg <----------- tylo solanki ODlano.
  
  Sprawdzamy:
  Bilans masy roztworu: 10 - 8,5 + 4,5 = 6 kg. Zgadza się.
  Bilans masy soli:
  Po odlaniu: 10% z 1,5 kg = 0,15 kg po odlaniu.
  Dolano 0,06 * 4,5 = 0.27 kg soli.
  W 6 kg roztworu jest 0,15 + 0,27 = 0,42 kg soli
  Stężenie roztworu: 0,42 kg / 6 kg * 100% = 7%. Zgadza się.
  ============================
  
  Zad. 4.
  a)
  Dodajemy równania stronami:
  
  3x = 6k + 3 ; stąd x = 2k + 1
  
  Z pierwszego równania: y = x - k ; czyli y = k + 1
  
  b)
  Z części (a) zadania wynikają dwie nierówności:
  2k + 1 < 0 ; stąd k < - 1/2
  k + 1 < 0 ; stąd k < -1
  Druga z nierówności jest silniejsza więc rozwiązanie to: k < - 1
  ============================
  
  Zad. 5.
  W zadaniu jest tekst "jeden z nich musiał maszerować jeszcze 16 godzin"
  Nazwijmy tego podróżnika "pierwszy" i powiedzmy, że pierwszy wychodzi z A.
  
  Oznaczmy:
  v1 - prędkość pierwszego podróżnika, s1 - jego droga z A do miejsca spotkania.
  v2 - prędkość drugiego podróżnika, s2 - jego drogę z B do spotkania.
  Wygląda to tak:
  
  A------s1--------X----------------------s2--------------------B ; X - miejsce spotkania.
  
  Spotkanie nastąpiło po czasie t, więc:
  
  s1 = v1 t ; oraz
  s2 = v2 t
  Stąd wynika, że stosunek dróg s2 / s1 jest równy stosunkowi prędkości v2 / v1.
  
  Wiemy jeszcze, że:
  s2 / v1 = 16 ; pierwszy musi iść 16 godzin drogą s2
  s1 / v2 = 9 ; drugi musi iść 9 godzin drogą s1.
  
  Te dwie ostatnie zależności można też zapisać jako:
  
  s2 = 16 v1 ; oraz
  s1 = 9 v2
  ----------------- dzielimy te równania stronami
  s2 / s1 = (16/9) * v1 / v2
  
  Ale z poprzedniego rozumowania wiemy, że s2 / s1 = v2 / v1 ; czyli
  
  v2 / v1 = (16/9) * (v1 / v2) ; mnożymy przez v2 / v1
  
  (v2 / v1)^2 = 16/9 ; więc: v2 / v1 = 4 / 3
  
  Drugi podróżny jest szybszy od pierwszego.
  Skoro pierwszemu pokonanie drogi s2 zajmuje 16 godzin czyli s2 / v1 = 16
  to drugiemu PRZED spotkaniem zajęło to czas t równy:
  
  [ UWAGA: dzielę i mnożę przez v1 aby dostać potrzebne ułamki ]
  
  t = s2 / v2 = (s2 / v1) * (v1 / v2) = 16 * (3 / 4) = 12 godzin.
  
  Gdy mamy czas do chwili spotkania to dodajemy go do podanych czasów.
  
  Pierwszy podróżny: 12 + 16 = 28 godzin na całą drogę.
  Drugi podróżny: 12 + 9 = 21 godzin na całą drogę.
  ============================
  
  Ostatnie zadanie jest dość trudne, w razie pytań piss proszę na priv.
  Kluczowe jest wyznaczenie stosunku prędkości v2 / v1.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie