Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 26.11.2016 (09:40)

  Ostroslup ma w podstawie trojkat rownoboczny (a=8cm, a=8cm, a=8cm) boki ostroslupa sa roznej dlugosci b1=15, b2=18, b3=22.
  
  Nie mam odpowiedzi na komentarz do zadania więc stosuję opisaną w nim metodę.
  Może spróbuj zbudować sobie model z patyków, bo zadanie jest w przestrzeni 3D.
  Położenia punktów są opisywane przez TRZY liczby: (x; y; z)
  Oś Z jest prostopadła do płaszczyzny XY.
  
  Na płaszczyźnie XY budujemy trójkąt równoboczny w taki sposób:
  
  Punkt A to początek układu współrzędnych, czyli A = (0; 0; 0)
  
  Punkt B leży na osi X w odległości a = 8 od A czyli B = (8; 0; 0)
  
  Punkt C to trzeci wierzchołek trójkąta. Jego współrzędna x to a/2 czyli 4,
  a współrzędna y jest równa wysokości trójkąta, czyli:
  a * pierwiastek(3) / 2 = 8 * pierwiastek(3) / 2 = 4 * pierwiastek(3). Dlatego:
  C = (4; 4 * pierwiastek(3); 0)
  
  Teraz robimy ostrosłup. Ponad płaszczyznę, powiedzmy "do góry" z punktu A wychodzi patyk o długości b1 = 15. Z punktu B wychodzi patyk o długości b2 = 18. Łączymy końce tych patyków i mamy jedną ściankę. Ta ścianka nie określa jeszcze położenia wierzchołka ostrosłupa bo można ją obracać wokół odcinka AB. Ale gdy dołożymy trzeci patyk o długości b3 = 22, łączący wierzchołek ostrosłupa z punktem C to konstrukcja się "usztywni" - dla dodatnich "Z" jest tylko jedno możliwe położenie wierzchołka.
  
  Oznaczmy ten wierzchołek przez W = (x; y; z)
  Jeśli znajdziemy współrzędną "z" wierzchołka to mamy szukaną wysokość ostrosłupa.
  
  Mamy 3 zmienne x, y, z i potrzeba 3 równania aby je znaleźć. Potrzebne jest tylko "z" no ale te 3 równania trzeba napisać. Układamy równania na KWADRATY długości boków ostrosłupa.
  Długość odcinka w przestrzeni 3D liczy się tak samo jak na płaszczyźnie, tzn. odejmując współrzędne końców i podnosząc te różnice do kwadratu. W ten sposób dostajemy układ równań, kolejno na kwadraty długości odcinków AW, BW, CW. Zapiszę je w LaTeX'u:
  
  \left\{\begin{array}{l}(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=15^2\\ ~\\(x-8)^2+(y-0)^2+(z-0)^2=18^2\\ ~\\(x-4)^2+(y-4\sqrt{3})^2+(z-0)^2=22^2\end{array}\right.
  
  Spokojnie, to tylko tak źle wygląda. Jak się wymnoży kwadraty i odejmie stronami pierwsze równanie od każdego z dwóch pozostałych to dostajemy układ równań z dwiema niewiadomymi. Wszystkie kwadraty się skracają.
  
  \left\{\begin{array}{l}-16x+64=99\\ ~\\-8x - 8\sqrt{3}y+64= 259\end{array}\right.
  
  To już jest prosty układ równań liniowych z niewiadomymi x, y.
  Idę na łatwiznę i wrzucam ten układ równań do programu "Maxima".
  Dostałem z programu:: x = -35/16 oraz y = - (355/16) * [ 1 / pierwiastek(3) ]
  
  Wstawiamy te liczby do pierwszego równania (z tych trzech) i mamy wreszcie wynik:
  
  z = (5 / 8) * pierwiastek(431 / 3) = około 7,49
  
  (są dwa rozwiązania, z plusem i minusem, wystarczy to z plusem, drugie oznacza ostrosłup w wierzchołkiem POD płaszczyzną XY, nie nad nią, w końcu mamy tylko policzyć wysokość).
  ================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  
  Przepraszam, że nie zamieściłem pośrednich obliczeń (są raczej "niemiłe" choć proste matematycznie) ale w końcu mamy XXI wiek. Chciałem pokazać METODĘ rozwiązania Twojego zadania w miarę krótko. Być może istnieje też inny sposób.
  Jeśli masz więcej tego typu zadań z różnymi a, b1, b2, b3 to może warto wyprowadzić wzór na symbolach i napisać krótki program, który od razu policzy wynik (i sprawdzi poprawność danych, nie wszystkie zestawy długości boków stworzą ostrosłup)
  
  Tak naprawdę to wrzuciłem cały ten pierwszy układ równań do "Maximy".
  A ten drugi układ to "przemyszkowałem" fragmenty pierwszego układu
  metodą copy/paste :)
  
  Pozdro - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie