Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 2.11.2016 (08:34)

  Zadanie 8.
  Szukany kąt to także kąt między bokami podstawy.
  
  Zauważ, że podane kąty i kąt między ścianami NIE zmienią się, gdy graniastosłup powiększymy np. dwa razy. Przyjmijmy więc że wysokość graniastosłupa wynosi "h".
  Oznaczmy dodatkowo:
  d - długość krótszej przekątnej podstawy
  D - długość dłuższej przekątnej podstawy
  
  Trójkąt złożony z:
  - krótszej przekątnej graniastosłupa
  - krótszej przekątnej podstawy
  - wysokości graniastosłupa
  jest prostokątny i kąt między przekątnymi ma miarę 60 stopni. Wobec tego:
  
  d / h = ctg(60) ; czyli d = h * ctg(60) = h * pierwiastek(3) / 3
  
  Analogicznie:
  
  D / h = ctg(30) ; czyli D = h * ctg(30) = h * pierwiastek(3)
  
  Stosunek długości D / d = [ h * pierwiastek(3) / 3 ] / [ h * pierwiastek(3) ] = 3
  Mamy więc romb w którym stosunek długości przekątnych = 3. Przekątne rombu przecinają się w połowie pod kątem prostym. Tworzy się trójkąt prostokątny o stosunku przyprostokątnych równym 3. Mniejszy z kątów tego trójkąta musi spełniać warunek:
  
  ctg(alfa) = 3 ; odpowiada to kątowi alfa = około 18,435 stopnia
  
  Ale ten kąt to połowa ostrego kata rombu.
  Kąt ostry podstawy wnosi więc około 2 * 18,435 = około 36,9 stopnia
  Kąt rozwarty podstawy to 180 - 36,9 = około 143.1 stopnia
  To są kąty miedzy ścianami graniastosłupa, szukane w zadaniu.
  ==================================
  
  Zadanie 9.
  Przyjmujemy, ze długości wszystkich krawędzi są równe 1.
  Przyda się jeszcze informacja, że w 6-kącie foremnym długości przekątnych to:
  Dłuższa D = 2 * bok = 2
  Krótsza d = pierwiastek(3) * bok = pierwiastek(3)
  
  a)
  Obie czerwone linie mają równe długości.
  Czerwona linia, wysokość graniastosłupa i krótsza przekątna podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Długość L czerwonej linii (przeciwprostokątna) z tw. Pitagorasa spełnia więc równanie:
  
  L^2 = 1^2 + d^2 czyli L^2 = 1^2 + [ pierwiastek(3) ]^2 = 4. Stąd: L = 2.
  
  Połącz końce czerwonych linii.
  Tworzy się trójkąt równoramienny o bokach: 2, 2, pierwiastek(3).
  Wysokość tego trójkąta dzieli kąt alfa na 2 czyli:
  
  sin(alfa/2) = [pierwiastek(3) / 2] / 2 = pierwiastek(3) / 4
  
  Takiemu sinusowi odpowiada kąt alfa/2 = około 25,659 stopnia czyli
  alfa = około 51,3 stopnia
  ----------------------------
  
  b)
  Jedna z czerwonych linii jest przekątną kwadratu o boku 1, ma więc długość
  L = pierwiastek(2)
  Druga czerwona linia ma długość d = pierwiastek(3).
  Połącz końce czerwonych linii. Tworzy się trójkąt równoramienny o bokach:
  pierwiastek(2), pierwiastek(2), pierwiastek(3).
  Poprowadź wysokość tego trójkąta do boku pierwiastek(3). Mamy zależność:
  
  cos(beta) = (d/2) / L = [ pierwiastek(3) / 2 ] / pierwiastek(2) czyli
  cos(beta) = pierwiastek(3/2) / 2
  
  Takiemu kosinusowi odpowiada kąt beta = około 52,2 stopnia
  ----------------------------
  
  c)
  Górna czerwona linia ma długość D = 2.
  Dolna czerwona linia ma taką samą długość jak w przykładzie (a), czyli też 2.
  Połącz końce czerwonych linii. Powstaje trójkąt równoramienny o bokach:
  2, 2, pierwiastek(2) / 2. Dlatego:
  
  sin(gamma/2) = [ pierwiastek(2) / 2 ] / 2 = pierwiastek(2) / 4
  
  Daje to kąt gamma/2 = około 20,7 stopnia czyli gamma = około 41,4 stopnia
  ==================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie