Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 30.10.2016 (08:50)

  Zadanie 10.
  Udowodnimy najpierw pewną właściwość 8-kąta foremnego.
  Na rysunku (a) kreskowane przekątne przecinają się pod kątem prostym.
  Jest tak, ponieważ:
  -- kąt przy wierzchołku 8-kata jest równy 180 * 6 / 8 = 135 stopni
  -- czworokąt odcinany przez kreskowaną przekątną (ten z bokiem o długości 2)
  ma dwa kąty 135 stopni i dwa nieznane kąty alfa, a suma jego kątów = 360 ; czyli
  
  135 + 135 + 2 * alfa = 360 ; stąd alfa = 45
  
  W małym trójkącie z czerwonym bokiem mamy dwa kąty po 45 stopni, trójkąt ten jest więc prostokątny co dowodzi, że kreskowane przekątne przecinają się pod kątem prostym
  
  a)
  Czerwony odcinek jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego o równych przyprostokątnych i przeciwprostokątnej równej 2, czyli długość czerwonego odcinka wynosi:
  
  Ac = 2 / pierwiastek(2) = pierwiastek(2)
  
  Zielony odcinek jest równoległy do boku 8-kąta. Jego długość to 2 + 2 * czerwony czyli
  
  Az = 2 + 2 * pierwiastek(2)
  
  Niebieski odcinek jest przeciwprostokątną trójkąta z zielonym bokiem i bokiem równym 3
  
  An^2 = [ 2 + 2 * pierwiastek(2) ]^2 + 3^2 ; czyli
  An = pierwiastek [ 21 + 8 * pierwiastek(2) ]
  ---------------------------------------------------------------------
  
  b)
  Czerwony odcinek jest taką samą przekątną jak zielony na rysunku (a), ale bok 8-kąta wynosi teraz 3, czyli
  
  Bc = 3 + 2 * 3 / pierwiastek(2) = 3 + 3 * pierwiastek(2)
  
  Zielony odcinek jest przeciwprostokątną trójkąta o bokach czerwonym i równym 3, czyli
  
  Bz^2 = 3^2 + [ 3 + 3 * pierwiastek(2) ]^2 ; czyli
  Bz = 3 * pierwiastek [ 4 + 2 * pierwiastek(2) ]
  
  Niebieski odcinek to przeciwprostokątna trójkąta o boku 5 i zielonym czyli
  
  Bn^2 = 36 + 18 * pierwiastek(2) + 5^2 ; czyli
  Bn = pierwiastek [ 61 + 18 * pierwiastek(2) ]
  ---------------------------------------------------------------------
  
  c)
  Czerwony odcinek jest połową najdłuższej przekątnej 8-kąta, czyli odpowiada połowie zielonego odcinka z rysunku (b). Teraz jednak bok 8-kąta wynosi 2. W części (a) liczyliśmy zielony odcinek i miał on długość
  
  Az = 2 + 2 * pierwiastek(2)
  
  Zielony odcinek z rysunku (b) miałby kwadrat długości równy:
  
  x^2 = 2^2 + [ 2 + 2 * pierwiastek(2) ]^2 ; czyli
  x = pierwiastek [ 16 + 8 * pierwiastek(2) ]. Połowa tego odcinka daje:
  
  Cc = pierwiastek [ 4 + 2 * pierwiastek(2) ]
  
  Niebieski odciek jest przeciwprostokątną trójkąta o boki 4 i czerwonym czyli:
  
  Cn^2 = 4^2 + Cc^2 = 16 + 4 + 2 * pierwiastek(2) ; czyli
  Cn = pierwiastek [ 20 + 2 * pierwiastek(2) ]
  
  Zielony odcinek jest wysokością trójkąta równoramiennego o niebieskich ramionach
  i połowie długości podstawy = 1 ; czyli
  
  Cz^2 = Cn^2 - 1^2 = 20 + 2 * pierwiastek(2) - 1 ; czyli
  Cz = pierwiastek [ 19 + 2 * pierwiastek(2) ]
  ---------------------------------------------------------------------
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie