Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 1

  antekL1 30.10.2016 (07:34)

  1.
  Niech a, b będą bokami podstawy, c niech będzie wysokością prostopadłościanu.
  Przekątna podstawy ma długość s i tworzy z bokami a, b trójkąt prostokątny.
  Z tw. Pitagorasa mamy zależność:
  
  s^2 = a^2 + b^2
  
  Przekątna podstawy i wysokość prostopadłościanu tworzą także trójkąt prostokątny
  którego przeciwprostokątną jest przekątna prostopadłościanu o długości d.
  Z tw. Pitagorasa mamy zależność:
  
  d^2 = s^2 + c^2
  
  Podstawiamy s^2 z pierwszego równania i dostajemy szukaną długość d:
  
  d = pierwiastek (a^2 + b^2 + c^2)
  
  =================================================
  
  2.
  Narysuj sobie proszę taki graniastosłup (albo wykorzystaj rysunek z któregoś z zadań).
  Podstawa jest sześciokątem foremnym.
  Dłuższa przekątna podstawy ma długość 2a i tworzy z wysokością graniastosłupa trójkąt prostokątny którego przeciwprostokątną jest dłuższa przekątna graniastosłupa. Jeśli oznaczymy przez h wysokość graniastosłupa to z tw. Pitagorasa mamy równość:
  
  p^2 = h^2 + (2a)^2 ; czyli h^2 = p^2 - 4a^2
  
  Policzymy teraz długość krótszej przekątnej podstawy. Są to dwie wysokości trójkąta równobocznego o boku a czyli długość s krótszej przekątnej podstawy wynosi:
  
  s = 2 * a * pierwiastek(3) / 2 ; czyli s^2 = 3a^2
  
  Krótsza przekątna podstawy tworzy z wysokością graniastosłupa trójkąt prostokątny którego przeciwprostokątną jest krótszą przekątną graniastosłupa mającą szukaną długość d.
  Z tw. Pitagorasa mamy zależność:
  
  d^2 = h^2 + s^2
  
  Podstawiamy h^2 i s^2 z poprzednich równań:
  
  d^2 = p^2 - 4a^2 + 3a^2 ; czyli d^2 = p^2 - a^2 ; stąd:
  
  d = pierwiastek(p^2 - a^2)
  
  Zauważ, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest zawsze dodatnie gdyż nawet w graniastosłupie o bardzo małej wysokości h mamy związek: p > 2a.
  
  =================================================
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie