Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 14.9.2016 (08:29)

  [ Za dużo na raz! Kilka ciekawszych zadań masz rozwiązane niżej.
  Czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu" itp, np: 2^3 = 8 ("do sześcianu" ]
  
  Zadanie 16.
  Rozkładamy a^2 - b^2 na iloczyn: a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)
  Liczbę 24 rozkładamy na iloczyn dwóch liczb naturalnych.
  Możliwości są takie: 24 = 24 * 1 = 12 * 2 = 8 * 3 = 6 * 4
  Czyli mamy 4 sytuacje:
  
  a + b = 24 oraz a - b = 1.
  Rozwiązanie tego układu równań daje a = 25/2 oraz b = 23/2. Odpada.
  a + b = 12 oraz a - b = 2.
  Rozwiązanie tego układu równań daje a = 7 oraz b = 5. Pasuje.
  a + b = 8 oraz a - b = 3.
  Rozwiązanie tego układu równań daje a = 11/2 oraz b = 5/2. Odpada.
  a + b = 6 oraz a - b = 4.
  Rozwiązanie tego układu równań daje a = 5 oraz b = 1. Pasuje.
  
  Czyli istnieją tylko dwie takie pary: 7 i 5 oraz 5 i 1.
  Sprawdzamy: 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24 oraz 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24.
  =====================
  
  Zadanie 17.
  a)
  Kolejne liczby naturalne to: n oraz n+1. Liczymy sumę ich kwadratów:
  n^2 + (n+1)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n(n+1) + 1
  Liczba 2n(n+1) + 1 da się zapisać jako: 2k + 1, a taka liczba jest nieparzysta.
  
  b)
  Kolejne dwie liczby nieparzyste to: 2k - 1 oraz 2k + 1.
  Liczymy sumę ich kwadratów:
  (2k-1)^2 + (2k+1)^2 = 4k^2 - 4k + 1 + 4k^2 + 4k + 1 = 8k^2 + 2
  Liczba 8k^2 jest podzielna przez 4, ale po dodaniu 2 już nie jest
  (trzeba by dodać do niej 4).
  =====================
  
  Zadanie 18.
  a)
  Przenosimy 2xy na prawą stronę. Dostajemy:
  x^2 + y^2 - 2xy = (x - y)^2.
  Teraz dowodzimy "od końca".
  Jako kwadrat wyrażenie (x - y)^2 >= 0, czyli x^2 + y^2 - 2xy >= 0 czyli
  x^2 + y^2 >= 2xy, co było do udowodnienia.
  
  b)
  Podniesienie obu stron do kwadratu nie zmieni znaku nierówności gdyż liczby są dodatnie. Do udowodnienia jest wiec nierówność:
  (x + y)^2 / 4 >= xy ; czyli, po pomnożeniu przez 4:
  x^2 + 2xy + y^2 >= 4xy ; czyli po przeniesieniu 4xy na lewo
  x^2 - 2xy + y^2 >= 0 ; czyli
  (x - y)^2 >= 0
  Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych x, y.
  Wychodzimy od tej nierówności i piszemy dowód "od końca" Przy przejściu od nierówności:
  (x + y)^2 / 4 >= xy
  do tej podanej w zadaniu używamy argumentu że wyciągnięcie pierwiastka z obu stron nie zmienia znaku nierówności gdyż obie liczby są dodatnie więc i suma x+y i iloczyn xy są dodatnie.
  =====================
  
  Zadanie 19.
  a)
  0,2 * 30 = 0,3 * x ; dzielimy przez 0,3
  0,2 * 30 / 0.3 = x
  x = 20
  
  b)
  0,05 * 8 = 0,04 * x ; dzielimy przez 0,04
  0,05 * 8 / 0,04 = x
  x = 10
  
  c)
  1,1 * 24 = 0,44 * x ; dzielimy przez 0,44
  1,1 * 24 / 0,44 = x
  x = 60
  =====================
  
  Zamieść proszę pozostałe zadania oddzielnie.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie