Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 8.9.2016 (12:26)

  [ czytaj proszę ^3 jako "do sześcianu" , ^2 jako "do kwadratu" itp.]
  
  Zadanie 1.
  Najpierw policzmy średnie z pomiarów
  
  średnia_a = (3.00 + 3.02 + 2.98) / 3 = 3.00
  średnia_b = (1.98 + 2.02 + 2.00 + 2.00) / 4 = 2.00
  średnia_c = (5.00 + 4.98 + 5.02) / 3 = 5.00
  
  Objętość V jest równa:
  V = średnia_a * średnia_b * średnia_c = 3 * 2 * 5 = 30 cm^3
  ------------------------------
  Dalej zamiast "średnia_a" piszę dla skrótu po prostu "a" itp.
  Zamiast "niepewność pomiarowa" piszę "błąd".
  Istnieją dwie metody na znajdowanie błędu wyniku, nie wiem, którą stosujecie.
  ------------------------------
  
  1) Tzw "błąd maksymalny".
  Dla prostopadłościanu będzie to błąd_V równy:
  
  błąd_V = (ab + ac + bc) * D ; gdzie D = 0.01 [ połowa podziałki mikrometru ]
  [ Dowód, jeśli nie było go na lekcji, jest na końcu rozwiązania ]
  Dostajemy:
  
  Bezwzględny błąd_V = (3*2 + 3*5 + 2*5) * 0.01 = 0.31 cm^3
  
  Błąd względny = błąd_V / V * 100% = 0.31 / 30 * 100% = około 1%
  (nie ma sensu podawać dokładnego wyniku 1,03333...%)
  ------------------------------
  
  2) Tzw. "błąd kwadratowy", moim zdaniem dający lepszą ocenę.
  Po pierwsze jako "D" nie przyjmujemy arbitralnie 0.01, ale liczymy błąd średniej.
  Wynika to z faktu, że im więcej zdobimy pomiarów tym lepiej znamy średnią.
  Liczymy SUMĘ KWADRATÓW RÓŻNIC: (pomiar - średnia)^2
  i dzielimy to przez N * (N - 1) gdzie N - ilość pomiarów.
  Dla "a" wygląda to tak:
  
  Da^2 = [ (3.00 - 3.00)^2 + (3.02 - 3.00)^2 + (2.98 - 3.00)^2 ] / (3 * 2) ; stąd:
  Da^2 = 0.0001333
  
  Podobnie liczymy Db^2 = 0.00006666 oraz Dc^2 = 0.0001333
  
  Następnie wyliczamy taką wielkość:
  
  błąd_V = pierwiastek [ (ab)^2 * Dc^2 + (ac)^2 * Db^2 + (bc)^2 * Da^2 ]
  błąd_V = pierwiastek [ 6^2 * 0.0001333 + 15^2 * 0.00006666 + 10^2 * 0.0001333 ]
  błąd_V = pierwiastek [ 0.0331273 ]
  
  Bezwzględny błąd_V = 0.18
  Błąd względny = błąd_V / V * 100% = 0.18 / 30 * 100% = około 0.6%
  
  Jak widać wychodzi sporo mniej (0,6% versus 1%). To zrozumiałe, bo w metodzie (1) zakładamy, że pomyliliśmy się "na niekorzyść" we wszystkich trzech pomiarach długości - dlatego jest to "błąd maksymalny". Natomiast metoda (2) zakłada, że błędy pomiarów długości częściowo mogą się znosić, zazwyczaj właśnie tak jest. Poza tym pomiary a, b, c są NIEZALEŻNE od siebie - tak, jakby były "prostopadłe", stąd wzór który przypomina tw. Pitagorasa.
  
  W razie pytań pisz proszę na priv
  -------------------------
  
  Dowód na błąd maksymalny: Powiedzmy, że wszystkie długości zwiększyły się o "D".
  Wtedy objętość V ' (prim) wyniesie:
  
  V ' = (a + D)(b + D)(c + D) ; wymnażamy, daje to:
  V ' = abc + (ab + ac + bc) D + (a + b + c) D^2 + D^3
  
  "D" jest bardzo małe więc pomijamy wyraz zawierający D^2 oraz D^3. Mamy:
  V ' = abc + (ab + ac + bc) D ; czyli
  V ' = V + (ab + ac + bc) D ; więc
  błąd_V = V ' - V = (ab + ac + bc) D ; co było do udowodnienia :)
  ==============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie