Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 21.8.2016 (09:49)

  [ Czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu", np: 3^2 = 9 ]
  
  Zad P.2.11
  Odp. B
  Zauważ, że 9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2 ; stąd odpowiedź
  ==============================
  
  Zad P.2.12
  23% podatku VAT oznacza, że cenę netto mnożymy przez 100% + 23% = 123% = 1,23.
  120 * 1,23 = 147,60 ; Odp. B
  ==============================
  
  Zad P.2.13
  Mnożymy licznik i mianownik przez pierw(3) + pierw(2).
  W mianowniku zostaje 3 - 2 = 1, a w liczniku:
  [ pierw(3) + pierw(2) ]^2 = 3 + 2*pierw(6) + 2 = 5 + 2*pierw(6). Odp. A.
  ==============================
  
  Zad P.2.14
  [/b]Odp. C.[/b] Wynika z prób wymnożenia podanych odpowiedzi i porównania.
  ==============================
  
  Zad P.2.15
  Błąd względny to: [ 1 - (5/7) ] / (5/7) * 100% co się równa 40%.
  Odp. A
  ==============================
  
  Zad P.2.16
  Zauważ, że w podanym wyrażeniu jest b^2, więc odpadają odpowiedzi A i B
  Odpowiedź D odpada z powodu znaku przy 12ab
  {b]Odp. C[/b].
  ==============================
  
  Zad P.2.17
  2 * pierw(18) = 2 * pierw(9*2) = 6 * pierw(2)
  pierw(32) = pierw(16*2) = 4 * pierw(2)
  Różnica to 2 * pierw(2) = pierw(8) = pierw(2^3) = 2^(3/2). Odp. D
  ==============================
  
  Zad P.2.18
  Aby liczba była podzielna przez 4 to powinna dać się zapisać jako "4k", gdzie k jest liczbą całkowitą. Dwie liczby różniące się o 2 zapisujemy jako n oraz n+2 i liczymy różnicę ich kwadratów:
  (n+2)^2 - n^2 = (n^2 + 4n + 4) - n^2 = 4n + 4 = 4 (n+1)
  Czyli różnica ma postać 4k gdzie k = n+1, co dowodzi twierdzenia.
  ==============================
  
  Zad P.2.19
  Zauważ, że 4^(k+2) = 4^k * 4^2 = 16 * 4^k. Podobnie 4^(k+1) = 4 * 4^k
  Zapisujemy podaną liczbę jako:
  16 * 4^k + 12 * 4^k - 4^k = (16 + 12 - 1) * 4^k = 27 * 4^k.
  Podana liczba da się zapisać jako 27 * m ; gdzie m - liczba całkowita
  co dowodzi twierdzenia.
  ==============================
  
  Zad P.2.20
  Jak poprzednio - trzeba zapisać wynik jako "8k", gdzie k jest całkowite.
  (4n+1)^2 - (4m-1)^2 = (16n^2 + 8n + 1) - (16m^2 - 8n + 1) =
  = 16(n^2 - m^2) + 8(n - m) =
  = 8 (2n^2 - 2m^2 + n - m) = 8 k gdzie k jest wyrażeniem z nawiasu, czyli całkowite.
  To dowodzi podzielności przez 8.
  ==============================
  
  Zad P.2.21
  Przenosimy 8 na lewą stronę, sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  Do udowodnienia jest teraz nierówność (k^2 + 6k + 25 - 8k - 24) / (k + 3) >= 0
  Mianownik jest dodatni dla dodatnich k, a licznik jest równy:
  L = k^2 -2k + 1 = (k - 1)^2
  To wyrażenie jako kwadrat jest nieujemne więc cały ułamek jest nieujemny,
  co dowodzi nierówności z zadania.
  (Trzeba dopisać: "Ponieważ (k-1)^2 >= 0 to licznik >=0 więc ułamek jest >=0
  więc nierówność z zadania jest prawdziwa")
  ==============================
  
  Zad P.2.22
  Przenosimy wszystko na lewą stronę. Nierówność z zadania jest prawdziwa jeśli prawdziwa jest nierówność:
  a^4 - b(2a^2 - b) >= 0
  Lewa strona jest równa
  L = a^4 - 2ba^2 + b^2 = (a^2 - b)^2 co jest >= 0 jako pełny kwadrat.
  L >= 0 dowodzi nierówności z zadania.
  ==============================
  
  Zad P.2.23
  Przepisujemy lewą stronę jako:
  L = 8x^2 + 3x^2 + 6xy + 3y^2 = 8x^2 + 3 (x^2 + 2xy + y^2) =
  = 8x^2 + 3(x + y)^2
  To wyrażenie jest zawsze >= 0 ponieważ zarówno 8x^2 jak i pełny kwadrat (x+y)^2
  są nieujemne.
  L >= 0 dowodzi nierówności z zadania.
  ==============================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie