Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 2

  antekL1 15.6.2016 (08:59)

  1.
  Zrób proszę rysunek, będzie łatwiej widać co jest czym.
  Poniżej oznaczenie ^2 to "do kwadratu", np. 3^2 = 9.
  
  Nazywamy długości boków trójkąta: podstawa - a, bok - b.
  Długość wysokości opuszczonej na podstawę - h
  Pole P trójkąta:
  
  P = (1/2) a h
  Z trygonometrii: h = b sin(75) oraz (1/2) a = b cos(75) więc:
  P = b^2 sin(75) cos(75)
  Z trygonometrii: sin(2 alfa) = 2 sin(alfa) cos(alfa) więc:
  sin(75) cos(75) = (1/2) sin(150) = (1/2) sin(30) = 1/4
  
  P = (1/4) b^2 ; Do obliczenia mamy "b". Korzystamy z obwodu:
  
  2b + a = 20 ; czyli
  2b + 2b cos(75) = 20 ; stąd
  b = 10 / [ 1 + cos(75) ]
  
  P = 25 / [ 1 + cos(75) ]^2
  -----------------------------------
  
  Można na tym zakończyć albo policzyć jeszcze cos(75) = sin(15).
  Korzystamy ze wzoru na sinus kąta połówkowego:
  sin(alfa / 2) = pierwiastek [ (1/2)(1 - cos(alfa) ] ; więc
  sin(15) = pierwiastek [ (1/2)(1 - cos(30)) ]
  Wiemy, że cos(30) = pierwiastek(3) / 2
  Po wstawieniu tego do wzoru na pole i dość niemiłych rachunkach dostajemy:
  P = 400 / [ 4 - pierwiastek(2) + pierwiastek(6) ]^2
  (użyłem programu, żeby to przeliczyć :)
  ==============================
  
  2.
  Trójkąt jest prostokątny. Jeśli długość najkrótszego boku wynosi "a"
  to pozostałe boki mają długości: a√5 oraz 2a.
  Spełnione jest twierdzenie Pitagorasa:
  
  a^2 + (2a)^2 = (1+4) a^2 = 5a^2 czyli jest równe (a√5)^2
  
  Spełnienie przez długości boków tw. Pitagorasa świadczy o prostokątnym trójkącie.
  ==============================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie