Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 12.6.2016 (15:02)

  Grupa B.
  Zad. 1.
  a)
  Do policzenia ctg x będzie potrzebny sinus x.
  Liczymy go z "jedynki trygonometrycznej". Kąt x jest w drugiej ćwiartce więc sin x > 0.
  
  \sin x = \sqrt{1-(-1/4)^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}
  
  Liczymy ctg x jako iloraz cos x / sin x
  
  \mbox{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{-1/4}{\sqrt{15}/4}=-\frac{1}{\sqrt{15}}=-\frac{1}{15}\sqrt{15}
  
  Liczymy całe wyrażenie:
  
  4\sin x + 3\,\mbox{ctg}\,x=\frac{4}{4}\,\sqrt{15}+\frac{-3\sqrt{15}}{15}=\frac{4}{5}\sqrt{15}=4\sqrt{\frac{3}{5}}
  
  Wybierz sobie którą odpowiedź chcesz.
  
  b)
  Stosujemy wzór na kosinus podwojonego kąta [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2 sin^2(x)
  
  Wstawiamy -1/6 jako sin x .
  Kąt należy do czwartej ćwiartki więc kosinus jest dodatni.
  
  cos(2x) = 1 - 2 * (-1/6)^2 = 17 / 18
  ==============================================
  
  Zad. 2.
  Założenia:
  cos x ma być różne od zera czyli x jest różne od pi/2 + k * pi
  tg x ma być skończony co daje dokładnie ten sam warunek.
  Dziedzina: D = R / { pi/2 + k * pi } ; k należy do liczb całkowitych.
  
  Prawą stronę rozpisujemy jako 1 + 2 tg x + tg^2 x.
  Zamieniamy tangens na sinus / kosinus i mamy po prawej stronie wyrażenie,
  w którym p ostatniej równości zamieniamy sumę kwadratów sin i cos na 1.
  
  =1 + 2\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+ 2\sin x \cos x + \sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1+ 2\sin x \cos x}{\cos^2 x}
  
  Czyli prawa strona = lewa strona, co było do udowodnienia.
  ==============================================
  
  Zad. 3.
  Wybieramy "sprytnie" kąty.
  a)
  120 = 180 - 60 ; więc sin(120) = sin(60) = pierwiastek(3) / 2
  (kąt 120 stopni jest w drugiej ćwiartce więc sinus jest dodatni)
  315 = 360 - 45 ; więc ctg(315) = - ctg(45) = - 1
  Całe wyrażenie
  = pierwiastek(3) / 2 + 6
  
  b)
  cos(-7pi/6) = cos(7pi/6) bo kosinus jest symetryczny względem zera
  7pi/6 = pi + pi/6. Kąt jest w trzeciej ćwiartce więc kosinus jest ujemny.
  cos (7pi/6) = - cos(pi/6) = - pierwiastek(3) / 2
  ==============================================
  
  Zad. 4.
  a)
  sin x = -1/2 odpowiada kątowi x = -pi/6 lub x = 7pi/6.
  Okres sinusa wynosi 2pi więc:
  [/b]x1 = - pi/6 + 2 k * pi[/b]
  [/b]x1 = 7pi/6 + 2 k * pi[/b] ; gdzie k jest liczbą całkowitą.
  
  b)
  Podstawiamy t = cos x. Równanie przechodzi na równanie kwadratowe:
  2 t^2 + t - 1 = 0 ; rozwiązaniami są:
  t1 = -1 ; więc cos x = -1 ; daje to x1 = pi + 2 k pi
  t2 = 1/2 ; więc cos x = 1/2 ; daje to
  x2 = pi/3 + 2 k pi lub
  x3 = -pi/3 + 2 k pi ; gdzie k jest liczbą całkowitą.
  
  c)
  Mamy sin x <= pierwiastek(3) / 2
  Takiemu sinusowi odpowiadają kąty pi/3 oraz 2pi/3
  Ponieważ zakresem x jest <-pi, pi> to nierówność spełniają z tego zakresu:
  - wszystkie x < pi/3
  - wszystkie x > 2pi/3
  Rozwiązaniem jest (znów mi się źle zapisuje LaTeX, patrz załącznik)
  
  x należy do < -pi; pi / 3 > U < 2pi / 3; pi >
  =============================================

  Załączniki

  • codecogseqn.gif (781 bytes)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie