Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 7.6.2016 (08:38)

  1)
  Niech początek układu współrzędnych znajduje się na skrzyżowaniu.
  
  Pierwszy samochód porusza się w kierunku dodatnim osi OX.
  Jego prędkość wynosi Vx = 90 km/h = 25 m/s
  Początkowe położenie to x0 = - 200 m
  Zależność położenia od czasu (wektor na płaszczyźnie XY) to: A(t) = [ x0 + Vx t; 0 ]
  
  Drugi samochód porusza się w kierunku dodatnim osi OY.
  Jego prędkość wynosi Vy = 72 km/h = 20 m/s
  Początkowe położenie to y0 = - 300 m
  Zależność położenia od czasu (wektor na płaszczyźnie XY) to: B(t) = [ 0; y0 + Vy t ]
  
  Obliczamy d^2 = KWADRAT odległości AB. [ czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  d^2(t) = (x0 + Vx t - 0)^2 + (0 + y0 + Vy t)^2
  
  wymnażamy nawiasy i łączymy wyrażenia przy tych samych potęgach "t"
  
  d^2(t) = (Vx^2 + Vy^2) t^2 + 2 (Vx x0 + Vy y0) t + (x0^2 + y0^2)
  
  Szukamy minimum funkcji d^2(t) ze względu na t.
  Funkcja przedstawia parabolę w kształcie litery "U" (bo wsp. przy t^2 jest dodatni).
  Ma więc ona minimum (wierzchołek) dla czasu tw :
  
  tw = - (Vx x0 + Vy y0) / (Vx^2 + Vy^2)
  
  Obliczamy tw i podstawiamy do wzoru na d^2(t).
  Wygodniej jest podstawić w tym momencie dane liczbowe bo wzory byłyby dłuuugie.
  
  tw = - [ 25 * (-200) + 20 * (-300) ] / [ 25^2 + 20^2 ] = około 10,73 s
  
  d^2(tw) = 1025 tw^2 - 22000 tw + 130000 = około 11951.2
  
  Najmniejsza odległość "d" to pierwiastek z d^2(tw)
  d = pierwiastek(11951.2) = około 109,3 m
  =============================
  
  2.
  Zachowajmy oznaczenia z części (1) zadania, ale początek ruchomego
  układu współrzędnych umieśćmy w drugim samochodzie.
  Przejdźmy od razu do danych liczbowych.
  
  W chwili początkowej w tym układzie pierwszy samochód ma pozycję:
  wektor r0 = [x0; - y0] = [-200; 300] ; zwróć uwagę na znaki !!
  
  i porusza się z prędkością (wektor) V = [Vx; -Vy] = [ 25; -20] m/s
  po prostej wektor r(t) określanej przez wektor:
  r(t) = r0 + V t = [-200; 300] + [ 25; -20] t ; zwróć uwagę na znaki !!
  
  Odległość pierwszego samochodu od drugiego będzie minimalna gdy wektor r(t)
  będzie PROSTOPADŁY do wektora prędkości V,
  [ wtedy odległość prostej r(t) od punktu (0;0) jest najmniejsza ]
  czyli gdy iloczyn skalarny r(t) * V = 0. Mamy warunek na czas tw:
  
  ( [-200; 300] + [ 25; -20] tw ) * [ 25; -20] = 0 ; * oznacza iloczyn skalarny
  
  Oznacza to, że:
  25 (-200 + 25 tw) - 20 (300 - 20 tw) = 0 ; stąd: tw = 440/41 = około 10,73 s
  
  Pierwszy samochód w chwili tw będzie w punkcie C = r(tw)
  C = [-200; 300] + 10,73 * [25; -20] ; Tutaj * to zwykłe mnożenie
  
  Kwadrat długości wektora C liczymy z tw. Pitagorasa:
  
  |C|^2 = (-200 + 10,73 * 25)^2 + (300 - 10,73 * 20)^2 = 11951,2
  
  Pierwiastek z |C|^2 to minimalna odległość d.
  Jak poprzednio: d = około 109, 3 m
  =============================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie