Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 4.6.2016 (10:03)

  Ze zdania "zawsze zachodzi przynajmniej jedno z nich" wnioskujemy, że suma zdarzeń
  
  A U B = Ω
  
  czyli każde zdarzenie elementarne należy do A lub do B (lub do obu naraz).
  Wobec tego:
  
  P(A U B) = 1. To pozwala obliczyć potrzebne dalej P(B) ze wzoru:
  
  P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
  =======================================
  
  a)
  Ponieważ P(A) = P(B) to ze wzoru powyżej: 1 = 2 P(B) - 1/4 ; więc:
  P(B) = P(A) = 5/8
  
  Prawdopodobieństwa warunkowe obliczamy ze wzoru:
  P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) ; wstawiamy tu obliczone poprzednio P(B)
  
  P(A | B) = (1/4) / (5/8) = 2 / 5
  -----------------
  
  Do obliczenia P(A | B ' ) potrzebne będą P(A ∩ B ' ) oraz P(B ' ).
  
  Ponieważ zdarzenia B i B ' są dopełniające więc P(B) + P(B ' ) = P(Ω) = 1 ; więc
  P(B ' ) = 1 - P(B) = 1 - 5/8 = 3/8
  
  Podobnie z faktu, że B U B ' = Ω możemy napisać ciąg równości:
  A = A ∩ Ω = A ∩ (B U B ' ) = (A ∩ B) U (A ∩ B ' ) i ponieważ B i B ' wykluczają się to:
  P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B ' ) więc
  P(A ∩ B ' ) = P(A) - P(A ∩ B) = 5/8 - 1/4 = 3/8
  
  P(A | B ' ) okazuje się być zdarzeniem pewnym P(A | B ') = (3/8) / (3/8) = 1
  -------------------
  
  Niech Cię ten wynik nie zaskoczy :)
  Skoro MUSI zajść jedno ze zdarzeń A lub B, to skoro NIE zaszło zdarzenie B
  (bo warunkiem zajścia (A | B ' ) jest zajście B ' ) to MUSI zajść zdarzenie A,
  czyli A | B ' jest zdarzeniem pewnym, NIEZALEŻNIE od iloczynu A ∩ B.
  
  Można to potwierdzić rachunkiem. Jeśli oznaczymy P(A ∩ B) = p to:
  P(A) = P(B) = (1 + p) / 2
  P(A ∩ B ' ) = P(A) - p = (1 + p) / 2 - p = (1 - p) / 2
  p(B ' ) = 1 - P(B) = 1 - (1 + p) / 2 = (1 - p) / 2 i dostajemy zawsze:
  p(A | B ' ) = [ (1 - p) / 2 ] / [ (1 - p) / 2 ] = 1
  Będzie tak zawsze jeżeli A U B = Ω
  =======================================
  
  b)
  Z faktu, że P(A) = P(B) oraz że A U B = Ω mamy
  2P(B) - P(A ∩ B) = 1 ; stąd:
  P(B) = [ 1 + P(A ∩ B) ] / 2
  
  Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) mamy:
  P(A ∩ B) = P(A | B) * P(B)
  wstawiamy tu obliczone powyżej P(B) i podane P(A | B) = 1/5
  
  P(A ∩ B) = (1/5) * [ 1 + P(A ∩ B) ] / 2
  to jest zwykłe liniowe równanie na P(A ∩ B),
  
  Wychodzi z niego: P(A ∩ B) = 1 / p
  =======================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  W szczególności zauważ, że NIEPRAWDĄ jest: P(A) = P(A | B) + P(A | B ' )
  bo znaczyłoby to, że: p(A) = p(A | Ω),
  czyli że zdarzenie A zachodzi pod warunkiem zdarzenia pewnego,
  czyli samo zdarzenie A jest zdarzeniem pewnym.
  Ostrożnie z prawdopodobieństwem warunkowym :)
  
  
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie