Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 2.6.2016 (11:22)

  [ czytaj proszę znaczek ^ jako "do potęgi", np: 2^3 = 8 ]
  
  Zadanie 11.
  Czytaj log_25 (3) jako "logarytm o podstawie 25 z 3" itp.
  Zauważ, że można zapisać 5 jako "pierwiastek z 25" czyli 5^(1/2).
  Całe wyrażenie można więc przepisać jako:
  
  25 ^ [ (1/2) * log_25 (3) ] = 25 ^ [ log_25 (pierwiastek(3) ) ] = pierwiastek(3)
  
  gdyż 1/2 logarytmu z czegoś to logarytm z pierwiastka tego "czegoś",
  a potem podnosimy 25 do takiej potęgi do jakiej trzeba je podnieść, aby dostać liczbę logarytmowaną (to z definicji logarytmu).
  Odp. A.
  
  Zadanie 12.
  Mamy nierówność: 2 - 5n > -143 ; stąd -5n > -145 ; stąd n < 29.
  Wyrazy od 1 do 28 włącznie są większe od -143. Takich wyrazów jest 29 [ NIE 28 ! ]
  Odp. B.
  
  Zadanie 13.
  Podstawiamy n+1 w miejsce n do wzoru z zadania:
  
  (n+1)^2 - 3(n+1) = n^2 + 2n + 1 - 3n - 3 = n^2 - n - 2. Odp. B.
  
  Zadanie 14.
  Aby mianowniki nie były zerami zakładamy, że x jest różne od 2 i różne od -2
  (czyli dziedzina równania to R / { -2; 2 } )
  Rozkładamy x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) i skracamy x + 2 Dostajemy:
  
  2 = (2x - 1) / (x - 2) ; mnożymy przez x - 2
  2(x - 2) = 2x - 1 ; stąd:
  2x - 4 = 2x - 1
  -4 = -1. Sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań
  
  Zadanie 15.
  Jak poprzednio. Dziedzina to D = R - { -1; 1 }.
  Skracamy x + 1, mnożymy przez x - 1, dostajemy:
  3(x + 1) = 3x + 4 ; stąd:
  3x + 3 = 3x+ 4
  3 = 4. Sprzeczność. Równanie nie ma rozwiązań
  
  Zadanie 16.
  Mamy dwie możliwości:
  a) Licznik jest nieujemny i mianownik dodatni czyli:
  4x + 1 >= 0 oraz 3 - 5x > 0 ; stąd:
  x >= -1/4 oraz x < 3/5
  
  b) Licznik jest niedodatni i mianownik ujemny czyli:
  4x + 1 <= 0 oraz 3 - 5x < 0 ; stąd:
  x <= -1/4 oraz x > 3/5. Spzeczność.
  Rozwiązaniem jest pierwszy przedział: x należy do < - 1 / 4; 3 / 5 )
  
  Zadanie 17.
  Mamy dwie możliwości:
  a) Licznik jest nieujemny i mianownik ujemny czyli:
  3 - x >= 0 oraz 2 + 3x < 0 ; stąd
  x <= 3 oraz x < -2/3
  Druga nierówność jest silniejsza więc x należy do ( -oo; - 2/3 )
  
  b) Licznik jest niedodatni i mianownik dodatni czyli:
  3 - x >= 0 oraz 2 + 3x > 0 ; stąd
  x >= 3 oraz x > -2/3
  Pierwsza nierówność jest silniejsza więc x należy do < 3; +oo )
  
  Łączymy ona przypadki. Mamy: x należy do ( -oo; - 2 / 3 ) U < 3; +oo )
  
  Zadanie 18.
  Przenosimy 5 na lewą stronę,, sprowadzamy do wspólnego mianownika.
  Odwracamy znak nierówności. Dostajemy:
  (2x - 1) / (x - 1) >= 0
  Mamy dwie możliwości:
  a) Licznik jest nieujemny i mianownik dodatni czyli:
  2x - 1 >= 0 oraz x - 1 > 0 ; stąd:
  x >= 1/2 oraz x > 1 co daje przedział ( 1; +oo )
  
  b) Licznik jest niedodatni i mianownik ujemny czyli:
  2x - 1 <= 0 oraz x - 1 < 0 ; stąd:
  x <= 1/2 oraz x < 1 co daje przedział ( -oo; 1/2 >
  
  Łączymy ona przypadki. Mamy: x należy do ( -oo; 1 / 2 > U ( 1; +oo )
  
  Zadanie 19.
  jak poprzednio. Przenosimy -2 na lewo, wspólny mianownik i dostajemy:
  (2x - 1) / (2x - 3) >= 0
  Mamy dwie możliwości:
  a) Licznik jest nieujemny i mianownik dodatni czyli:
  2x - 1 >= 0 oraz 2x - 3 > 0 ; stąd:
  x >= 1/2 oraz x > 3/2 co daje przedział ( 3/2; +oo )
  
  b) Licznik jest niedodatni i mianownik ujemny czyli:
  2x - 1 <= 0 oraz 2x - 3 < 0 ; stąd:
  x <= 1/2 oraz x < 3/2 co daje przedział ( -oo; 1/2 >
  
  Łączymy ona przypadki. Mamy: x należy do ( -oo; 1 / 2 > U ( 3 / 2; +oo )
  
  Zadanie 20.
  Zauważ, że 3,375 = 3 i 3/8 = 27 / 8. Mamy równanie: (2/3)^x = 27/8.
  Z tego wynika, że x = - 3 (bo (2/3)^3 = 8/27; znak minus - bo odwrotność)
  
  Zadanie 21.
  Zauważ, że 6,25 = 6 i 1/4 = 25 / 4. Mamy równanie: (2/5)^x = 25/4.
  Z tego wynika, że x = - 2 (bo (2/5)^2 = 4/25; znak minus - bo odwrotność)
  
  Zadanie 22.
  Zakładamy, że x > 0 oraz x jest różne od 1 czyli dziedzina to D = (0; +oo) / { 1 }
  Zamieniamy log o podstawie x na log o podstawie 3
  
  log_x (3) = log_3 (3) / log_3 (x) = 1 / log_3 (x). Nierówność ma teraz postać:
  
  1 / log_3 (x) < 1
  
  Jeżeli x < 1 to logarytm jest ujemny i nierówność jest spełniona.
  Jeżeli x > 1 to nierówność jest spełniona dla x > 3.
  Rozwiązaniem jest: x należy do ( 0; 1 ) U ( 3; +oo)
  
  Zadanie 23.
  Zakładamy, że x > 0 oraz x jest różne od 1 czyli dziedzina to D = (0; +oo) / { 1 }
  Zamieniamy log o podstawie x na log o podstawie 2
  
  log_x (2) = log_2 (2) / log_2 (x) = 1 / log_2 (x). Nierówność ma teraz postać:
  
  1 / log_2 (x) > 1
  
  Jeżeli x < 1 to logarytm jest ujemny i nierówność nie jest spełniona.
  Jeżeli x > 1 to nierówność jest spełniona dla x < 2
  Rozwiązaniem jest: x należy do ( 1; 2 )
  
  Zadanie 24.
  Zakładamy, że x - 1 jest dodatnie
  i wykluczamy x = 2 czyli x należy do (1; +oo) / { 2 }
  Poza tym liczba logarytmowana ma być dodatnia czyli 5x - 9 > 0 czyli x > 9/5.
  Połączenie obu warunków daje dziedzinę D = (9/5; +oo) / { 2 }
  
  Aby logarytm był równy 2 to liczba logarytmowana musi być kwadratem podstawy, czyli:
  
  5x - 9 = (x - 1)^2 ; stąd:
  x^2 - 7x + 10 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  delta = (-7)^2 - 4 * 1 * 10 = 9 ; pierwiastek(delta) = 3
  x1 = (7 - 3) / 2 = 2 ; odrzucamy bo x1 nie należy do dziedziny
  x2 = (7 + 3) / 2 = 5 ; poprawne, należy do dziedziny.
  
  Zadanie 25.
  Zakładamy, że x + 1 jest dodatnie
  i wykluczamy x = 0 czyli x należy do (-1; +oo) / { 0 }
  Poza tym liczba logarytmowana ma być dodatnia czyli 3x + 3 > 0 czyli x > -1.
  Połączenie obu warunków daje dziedzinę D = (-1; +oo) / { 0 }
  
  Aby logarytm był równy 2 to liczba logarytmowana musi być kwadratem podstawy, czyli:
  
  3x + 3 = (x + 1)^2 ; stąd:
  3(x + 1) = (x + 1)^2 ; skracamy przez x + 1; wolno, bo x = -1 nie jest w dziedzinie
  3 = x + 1 ; stąd
  x = 2 ; Poprawne, należy do dziedziny.
  
  Zadanie 26a.
  Podstawiamy kolejno 1, 2, 3, 4 w miejsce n i mamy:
  - 3 / 4; - 4 / 5; - 1 / 2; 0
  
  ====================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie