Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 8.4.2016 (11:35)

  1.
  Zastosujmy taką metodę liczenia sumy kilku wyrazów ciągu arytmetycznego:
  - sumujemy pierwszy i ostatni wyraz
  - mnożymy przez różnicę "r" i przez ilość wyrazów
  - dzielimy przez 2
  
  Suma wyrazów od a1 do a5 (nazwijmy ją "Sa") wynosi więc:
  
  Sa = (a1 + a5) * r * 5 / 2
  
  Suma wyrazów od 6 do 10 (nazwijmy ją "Sb") wynosi wtedy:
  
  Sb = (a6 + a10) * r * 5 / 2
  
  Z treści zadania wiemy, że Sb = 3 * Sa. Podstawiamy powyższe wzory:
  
  (a6 + a10) * r * 5 / 2 = 3 * (a1 + a5) * r * 5 / 2 ; skracamy r i 5/2
  
  a6 + a10 = 3 * (a1 + a5)
  
  Wiemy, że a1=1 więc a5 = 1 + 4r; a6 = 1 + 5r; a10 = 1 + 9r. Wstawiamy to.
  
  1 + 9r + 1 + 5r = 3 * (1 + 1 + 4r) ; stąd wychodzi: r = 2
  
  Sprawdzamy: Ciąg ma postać: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ....
  Faktycznie:
  Sa = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 ; Sb = 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 75.
  75 = 3 * 25. Zgadza się.
  ==========================
  
  2.
  Tam w treści zadania jest pewnie: a4 = 9x-2y +1
  Oznaczmy przez "r" różnicę tego ciągu.
  Wtedy a2 = a1 + r; a3 = a1 + 2r; a4 = a1 + 3r
  Wstawiamy za a1, a2, a3, a4 wzory z zadania
  
  a2 = a1 + r ; czyli: 4x + y = x + 3y + r
  a3 = a1 + 2r ; czyli: 3x + 6y + 1 = x + 3y + 2r
  a4 = a1 + 3r ; czyli: 9x - 2y + 1 = x + 3y + 3r
  
  Rozwiązujemy ten układ trzech równań z trzema niewiadomymi x, y, r.
  Użyłem programu i wyszło mi: x = 2; y = 1; r = 4
  
  Wobec tego a1 = 2 + 3 * 1 = 5 i wzór ogólny:
  an = 5 + 4 (n - 1) = 1 + 4n <---------- wybierz postać, którą wolisz.
  
  Sprawdzamy: Ze wzoru ogólnego wynika ciąg: 5, 9, 13, 17, ....
  Z podstawień pod x, y: a2 = 4*2+1=9; a3 = 3*2+6*1+1=13; a4 = 9*2-2*1+1=17.
  Zgadza się :)
  ==========================
  
  3.
  [ czytaj proszę x^2 jako "x do kwadratu" ]
  
  Jeżeli wykres f(x) przechodzi przez punkt (0;0) to wzór funkcji f(x) ma postać:
  
  f(x) = a x^2 + b x ; [ nie ma stałej "c", bo f(0) ma być zerem ]
  
  Dążymy do wyznaczenia współczynników "a" i "b". Potrzebne są 2 równania.
  
  Można zapisać wzór na f(x) też w postaci: f(x) = x ( a x + b)
  po to, aby od razu mieć miejsca zerowe f(x) = 0 dla:
  x1 = 0; x2 = - b / a
  
  Wierzchołek funkcji f(x) leży pośrodku jej miejsc zerowych czyli w punkcie o wsp. X:
  xw = - b / (2a)
  
  Wykres funkcji g(x) = f(x+1) otrzymujemy przesuwając wykres f(x) w LEWO o 1
  [ na lekcji na pewno było wyjaśnienie dlaczego w lewo ]
  Czyli wierzchołek g(x) leży w punkcie x = - b / (2a) - 1. Ma to być równe 1 więc:
  
  - b / (2a) - 1 = 1 <------------- pierwsze równanie na a, b.
  
  Drugie równanie dostajemy podstawiając x = 1 do wzoru funkcji g(x).
  Wzór g(x) dostajemy wstawiając x +1 zamiast x do wzoru na f(x).
  
  g(x) = a (x + 1)^2 + b (x + 1) ; ma to być 12 dla x = 1 czyli:
  
  a (1 + 1)^2 + b (1 + 1) = 12 <---------- drugie równanie na a, b
  
  Porządkujemy oba równania i zapisujemy je razem:
  b = - 4a ; z pierwszego równania po pomnożeniu przez 2a
  4a + 2b = 12 ; z drugiego równania.
  
  Rozwiązanie tego układu daje: a = - 3; b = 12. Mamy szukane wzory funkcji:
  
  f(x) = - 3x^2 + 12x ; oraz
  g(x) = - 3(x+1)^2 + 12(x+1) = - 3x^2 + 6x + 9
  
  Sprawdzamy: g(1) = 12 co widać.
  Miejscami zerowymi f(x) są punkty x1 = 0; x2 = 4 więc miejscami zerowymi g(x)
  są x1' = -1; x2' = 3. Wierzchołek g(x) to średnia: (x1' + x2') / 2 = 1
  Zgadza się.
  ==========================
  
  W razie pytań albo jeśli się pomyliłem pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie