Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 21.3.2016 (10:57)

  [ Czytaj proszę znaczek ^ jako "do potęgi", np: 2^3 = 8 ]
  
  Zadania z działu "Grupa I"
  =====================
  
  1.
  a)
  a1 = (2*1 + 1) / (1^2 + 1) = 3 / 2
  a2 = (2*2 + 1) / (2^2 + 1) = 1
  a3 = (2*3 + 1) / (3^2 + 1) = 7 / 10
  
  b)
  a1 = (-1)^1 * 4 / 1 = - 4
  a2 = (-1)^2 * 4 / 2 = 2
  a3 = (-1)^3 * 4 / 3 = - 4 / 3
  ==============================
  
  2.
  Odejmujemy od wyrazu a(n+1) wyraz a(n)
  a(n+1) = (n+1+3) / [ 2(n+1) + 1 ] = (n + 4) / (2n + 3)
  a(n) = (n + 3) / (2n + 1)
  a(n+1) - a(n) = (n + 4) / (2n + 3) - (n + 3) / (2n + 1) = ; do wsp. mianownika
  = [ (n+3)(2n+1) - (n+3)(2n+3) ] / [ (2n+3)(2n+1) ] =
  = po upierdliwych przekształceniach
  
  = - 5 / (4n^2 + 8n + 3).
  Mianownik jest zawsze dodatni więc a(n+1) - a(n) < 0 dla każdego n > 0
  Ciąg jest malejący.
  ==============================
  
  3.
  Liczby określone w zadaniu tworzą ciąg arytmetyczny postaci: an = 6n + 5.
  Pierwszą taką liczbą dwucyfrową jest 11 (dla n=1), ostatnią - 95 (dla n=15).
  
  Obliczamy więc sumę ciągu arytmetycznego w którym a1 = 11, an = 95
  oraz ilość wyrazów wynosi 15
  
  S15 = (11 + 95) * 15 / 2 = 795
  ==============================
  
  4.
  Wzór jest taki: Kn = Ko (1 + p)^n ; gdzie:
  Ko - początkowa kwota, tutaj Ko = 5000
  p - oprocentowanie, tutaj: p = 4% = 0,04
  n - ilość okresów procentowych, tutaj: n = 3
  Kn - końcowa kwota.
  
  Kn = 5000 * (1 + 0,04)^3 = 5624,32 zł
  ==============================
  
  *5.
  Ciekawe :)
  Oznaczmy przez a1 pierwszy wyraz ciągu, przez q jego iloraz,
  Znamy a6
  
  a6 = a1 * q^5 = 2
  
  Kolejne wyrazy ciągu to: a1, a1 * q, a1 * q^2, a * q^3,..... a1 * q^10
  W iloczynie a1 * a2 * a3 * ... * a11 mamy:
  
  a1 powtarza się 11 razy czyli wystąpi a1^11
  
  q tworzy iloczyn: q * q^2 * ... * q^10 = q^(1 + 2 + 3 + ... + 10) = q^55
  
  Cały iloczyn jest równy: a^11 * q^55
  
  Zauważ, że można ten iloczyn zapisać tak: a^11 * q^55 = ( a1 * q^5 )^11 czyli
  
  iloczyn = a6^11 = 2^11 = 2048
  ==============================
  
  
  Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi.
  ==============================
  
  1.
  Sn = (a1 + an) * n / 2 ; więc (4 + a3) * 3 / 2 = 27 ; stąd a3 = 14
  a3 = a1 + 2r ; czyli 14 = 4 + 2r ; stąd szukana różnica r = 5
  ==============================
  
  2.
  Sn = a1 (q^n - 1) / (q - 1) ; więc :
  255 = a1 * (4^4 - 1) / (4 - 1) ; stąd: a1 = 3
  ==============================
  
  3.
  W ciągu arytmetycznym suma sąsiednich wyrazów jest równa podwojonemu środkowemu wyrazowi, stąd mamy równanie:
  
  x^2 + 3 = 4x ; przenosimy wszystko na lewą stronę:
  x^2 - 4x + 3 = 0 ; rozwiązujemy to równanie
  delta = (-4)^2 - 4*1*3 = 4 ; pierwiastek(delta) = 2
  x1 =(4 - 2) / 2 = 1
  x2 =(4 + 2) / 2 = 3 <----------------- są dwa rozwiązania zadania.
  ==============================
  
  4.
  W ciągu geometrycznym iloczyn sąsiednich wyrazów jest równy kwadratowi środkowego wyrazu, stąd mamy równanie:
  
  3 * 12 = (x + 1)^2 ; wymnażamy nawias, wszystko na jedną stronę:
  x^2 + 2x - 35 = 0 ; rozwiązujemy to równanie
  delta = 2^2 - 4 * (-35) = 144 ; pierwiastek(delta) = 12
  x1 = (-2 - 12) / 2 = - 7
  x1 = (-2 + 12) / 2 = 5 <----------------- są dwa rozwiązania zadania.
  ==============================
  
  5.
  Wyraz ogólny zapisujemy jako:
  an = n^2 - 2n + 1 + 1 = (n - 1)^2 + 1.
  Wyrażenie (n - 1)^2 jest równe zero lub więcej, po dodaniu jedynki mamy an > 0.
  ==============================
  
  6.
  a1 = - 14; a2 = - 9; a3 = - 4
  ==============================
  
  7.
  Odejmujemy a(n+1) - a(n)
  a(n+1) - a(n) = [ pierw(3) * (n+1) - 3 ] - [ pierw(3) * n - 3 ] =
  = pierw(3) * (n + 1 - n) - 3 + 3 =
  = pierw(3)
  Różnica kolejnych wyrazów jest stała więc ciąg jest arytmetyczny
  ==============================
  
  8.
  Obliczamy a(n+1) / a(n)
  a(n+1) / a(n) = [ 7 * (1/3)^(n+1+5) ] / [ 7 * (1/3)^(n+1+5) ] =
  = (1/3)^(n+1 + 5 - n - 5) = 1/3
  Iloraz kolejnych wyrazów jest stały więc ciąg jest geometryczny
  ==============================
  
  9.
  Skoro a1 - a2 = -2 to a2 - a1 = 2 czyli różnica ciągu wynosi r = 2.
  a2 = a1 + 2 = -4 więc a1 = -6.
  Ogólnie: an = -6 + 2 * (n - 1) ; dziesiąty wyraz to a10 = -6 + 2 * 9 = 12.
  Suma :
  S10 = (a1 + a10) * 10 / 2 = (-6 + 12) * 5 = 30
  ==============================
  
  10
  Skoro a4 = a1 * q^3 = 24 to q^3 = a4 / a1 = 24 /3 = 8 czyli q = 2.
  Suma:
  S10 = a1 * (q^10 - 1) / (q - 1) =
  = 3 * (2^10 - 1) / (2 - 1) =
  = 3 * 1023 = 3069
  =========================================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie