Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 7.2.2016 (10:34)

  Zadanie 7.
  Zakładam, że symbol V^3_4 oznacza wariacje bez powtórzeń 3 z 4.
  (takie oznaczenie jest w Wikipedii)
  Wariacji jest: 4 * 3 * 2 = 24
  Symbol C^3_4 to kombinacje 3 z 4. Jest ich 4! / (1! * 3!) = 4.
  
  Kombinacja zawierająca a, b, c daje 3! = 6 sekwencji wariacji:
  { abc, acb, bac, bca, cab, cba }
  Kombinacja zawierająca a, b, d daje 3! = 6 sekwencji wariacji:
  { abd, adb, bad, bda, dab, dba }
  Kombinacja zawierająca a, c, d daje 3! = 6 sekwencji wariacji:
  { adc, acd, dac, dca, cad, cda }
  Kombinacja zawierająca b, c, d daje 3! = 6 sekwencji wariacji:
  { bdc, bcd, dbc, dcb, cbd, cdb }
  =================================
  
  Zadanie 8.
  Zauważ, że ostatnia cyfra potęg liczby 13 (czyli też potęg liczby 3)
  powtarza się cyklicznie:
  3^0 = 1
  3^1 = 3
  3^2 = 9
  3^3 = 27
  3^4 = 81 <---- ostatnią cyfrą jest 1 więc 3^5 kończy się tak, jak 3^1
  Ogólnie:
  Wszystkie potęgi 3^(4n+k) gdzie k = 0, 1, 2, 3 kończą się na taką samą cyfrę.
  
  Liczbę 21 można zapisać jako: 4 * 5 + 1 więc 3^21 (jak też 13^21
  kończy się tak samo jak 3^1 czyli cyfrą 3
  =================================
  
  Zadanie 9.
  Z jednej strony ilość kombinacji C^2_n wynosi:
  n! / [2! * (n-1)! ] = n (n-1) / 2
  
  Z drugiej strony indukcyjne dowodzimy wzoru na sumę liczb od 1 do n-1.
  suma = n(n-1) / 2
  Dla n = 1 wzór nie ma sensu bo górna granica sumy jest < dolnej.
  Dla n = 2 mamy sumę liczb od 1 do 1 czyli 1,
  a w/g wzoru: 2 * (2 - 1) / 2 = 1. Zgadza się.
  Zakładamy prawdziwość wzoru dla n i dowodzimy dla n+1.
  
  suma_1^n (i) = suma_1^(n-1) (i) + n
  n(n-1)/2 + n = n^2/2 - n/2 + n = n^2/2 + n/2 = n(n+1)/2
  czyli wzór jest taki sam jak na sumę w zadaniu gdy podstawimy n+1 zamiast n.
  =================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie