Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 24.1.2016 (09:27)

  Rozumiem, że tam, gdzie nie ma "lim an..." to trzeba policzyć granicę gdy n--> oo.
  
  1)
  Dzielimy i mnożymy a_n przez [ pierwiastek(n+2) + pierwiastek(n) ].
  Dostajemy:
  a_n = [ n + 2 - n ] / [ pierwiastek(n+2) + pierwiastek(n) ].; czyli
  a_n = 2 / [ pierwiastek(n+2) + pierwiastek(n) ].
  Mianownik dąży do nieskończoności więc a_n --> 0
  
  2)
  Suma 1 + 2 + ... + n w liczniku jest równa n(n+1) / 2.
  Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
  
  a_n = (1/2) * [ n(n+1) - n(n+2) ] / (n + 2) ; stąd:
  a_n= (1/2) * [n^2 + n - n^2 - 2n] / (n+2) ; licznik i mianownik dzielimy przez n
  a_n = (1/2) * (-n) / (n + 2) = (-1/2) * 1 / (1 + 2/n)
  Ułamek 2/n dąży do zera więc a_n --> - 1 / 2
  
  3)
  Zauważ, że suma Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/n
  dąży do nieskończoności gdy n --> oo (dowód jest w wielu miejscach)
  Wyraz a_n można zapisać tak:
  a_n = [ 1 + (1/2) Sn ] / [ 1 + (1/3) Sn ] ; dzielimy licznik i mianownik przez Sn
  a_n = [ 1/Sn + 1/2 ] / [ 1/Sn + 1/3 ]
  Wyrażenie 1/Sn dąży do zera więc a_n --> 3 / 2
  
  4.
  Jeśli wolno logarytm rozwinąć w szereg
  [ dla małych x zachodzi; ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 + ....] to:
  a_n = (3 / n - (9/2)/n^2 + ...) / (1/n)
  Po pomnożeniu licznika i mianownika przez n dostajemy:
  a_n = 3 - 9 / (2n) + ... czyli a_n --> 3
  
  Jeśli nie wolną tą drogą to z de l'Hospitala (założenia są spełnione bo licznik i mianownik dążą do zera i są różniczkowalne)
  Pochodna licznika = - 3 / [ n^2 (1+3/n) ]
  Pochodna mianownika = - 3/n^2
  czyli a_n --> 3 / (1+ 3/n) --> 3.
  
  5.
  Używamy wzoru: 1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2) czyli całe wyrażenie to:
  W = 1 / (1 - x) - 3 / [ (1 - x)(1 + x + x^2) ] ; sprowadzamy do wsp. mianownika
  W = (1 + x + x^2 - 3) / [ (1 - x)(1 + x + x^2) ]
  Licznik zapisujemy jako -2 + x + x^2 = -(1 - x)(x + 2) ; skracamy 1 - x
  W = - (x + 2) / (1 + x + x^2) czyli W --> - 1 gdy x --> 1
  
  6.
  Nie rozumiem zapisu. Czym jest "n" ?
  A, może to ma być "pi" ? Wtedy z de l'Hospitala [założenia są spełnione, licznik i mianownik są różniczkowalne i mamy granicę typu 0 / 0 ]
  Pochodna licznika = -sin(x) ; pochodna licznika dąży do -1
  Pochodna mianownika = 1
  Całe wyrażenie W --> - 1 gdy x --> pi / 2
  
  7.
  Z de l'Hospitala [założenia są spełnione, licznik i mianownik są różniczkowalne
  i mamy granicę typu 0 / 0 ]
  Pochodna licznika = 5 cos(5x) - 3 cos(3x) ; pochodna licznika dąży do 2
  Pochodna mianownika = coos (x) ; pochodna mianownika dąży do 1.
  Całe wyrażenie W --> 2 gdy x --> 0
  ====================
  
  Zamieść proszę pozostałe przykłady oddzielnie (w kilku częściach) bo to za dużo na raz. Więcej osób rozwiąże je równolegle. Napisz też proszę co trzeba zrobić w pozostałych przykładach. Zbadać ciągłość? Zrobić wykres ?

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie