Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.1.2016 (10:30)

  Zadanie 4.
  Abyśmy mówili o tym samym narysuj proszę (niedokładnie, tylko szkic) ten trójkąt. Krótsza jest przyprostokątna o długości pierwiastek(11) bo ta liczba jest mniejsza niż 5. Następnie nazwij:
  
  krótsza przyprostokątna - "a ; dłuższa - "b" ; przeciwprostokątna - "c".
  
  Dorysuj wysokość i nazwij ją "h".
  Odcinek przeciwprostokątnej pod przyprostokątną "a" nazwij "x".
  Drugi z odcinków przeciwprostokątnej nazwij "y".
  
  Mamy rysunek. Układamy dwa równania na x, y.
  
  x + y = c ; pierwsze równanie, oczywiste
  
  x y = h^2 ; drugie równanie, takie twierdzenie powinno być na lekcji.
  
  Te dwa równania po rozwiązaniu dadzą nam szukane długości odcinków, ale musimy obliczyć długości "c" i "h". Długość przeciwprostokątnej liczymy z tw. Pitagorasa:
  
  c^2 = a^2 + b^2
  c^2 = [ pierwiastek(11) ]^2 + 5^2 = 11 + 25 = 36 ; więc:
  c = 6
  
  Do obliczenia wysokości zauważ, że pole P trójkąta można zapisać na dwa sposoby:
  P = (1/2) a b = (1/2) c h ; stąd:
  h = a b / c = (5/6) * pierwiastek(11) ; czyli
  h^2 = (25/36) * 11 = 275 / 36
  
  Wstawiamy h^2 i c do początkowych równań:
  
  x + y = 6
  x y = 275 / 36 ; z pierwszego równania mamy y = 6 - x, wstawiamy do drugiego
  
  x (6 - x) = 275 / 36 ; wymnażamy nawias, wszystko na jedną stronę i mamy;
  x^2 - 6x + 275 / 36 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
  delta = 6^2 - 4 * 1 * 275 / 36 = 49 /9 ; pierwiastek(delta) = 7 / 3
  
  x1 = (6 - 7/3) / 2 = 11 / 6 ; wtedy y1 = 6 - 11 / 6 = 25 / 6
  x2 = (6 + 7/3) / 2 = 25 / 6 ; wtedy y2 = 6 - 25 / 6 = 11 / 6
  
  Dostaliśmy oba rozwiązania jednocześnie - w końcu równanie kwadratowe "nie wie" nic o naszym rysunku. Myśmy oznaczyli przez "x" krótszy odcinek więc parą rozwiązań jest:
  
  x = 11 / 6 ; y = 25 / 6
  =================================
  
  Zadanie 5.
  Najpierw zauważ, że trójkąty ABS i DCS są podobne. Tak, bo kąty przy wierzchołku S mają jednakowe, poza tym kąty BDC i DBA są równe (proste równoległe przecięte prostą BD), podobnie jednakowe są kąty ACD i CAB.
  Skala podobieństwa DSC : ABS jest równa stosunkowi długości podstaw, czyli
  k = 5 / 15 = 1 / 3.
  Pole trójkąta DCS jest więc k^ = 1 / 9 częścią pola trójkąta ABS.
  
  Zauważ następną rzecz: Pola trójkątów ACD i BDC są równe. Tak, mają one jednakową podstawę CD i jednakowe wysokości równe wysokości trapezu. Przy okazji: odcinek AD jest wysokością trapezu bo kąt DAB jest prosty [ na rysunku kiepsko to widać, ale jest oznaczenie ]. Czyli wysokość trapezu = 8.
  
  Pola trójkątów ACD i BDC są więc równe: (1/2) * 5 * 8 = 20.
  
  Policzymy teraz pole P trapezu na dwa sposoby. Z jednej strony jest to:
  P = (1/2) * 8 * (15 + 5) = 80 ; "zwykły" wzór na pole trapezu
  
  Z drugiej strony pole trapezu to suma pól:
  
  P = pole(ABS) + pole(ACD)+ pole(BCD) - pole(DCS)
  
  (odejmujemy pole DCS bo liczyliśmy je podwójne sumując pola ACD i BCD)
  Ale wiemy, że pole(ABS) = 9 * pole(DCS), znamy pozostałe pola.
  Wstawiamy wszystkie informacje do powyższego wzoru:
  
  80 = 9 * pole(DCS) + 20 + 20 - pole(DCS) ; stąd:
  8 * pole(DCS) = 40 ; czyli
  
  pole trójkąta DCS = 5 ; oraz pole trójkąta ABS = 9 * 5 = 45
  =================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie