Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 17.1.2016 (10:52)

  Pozwolę sobie przepisać rozwiązanie (przed chwilą je robiłem) zadania:
  www.zaliczaj.pl
  zmieniając jedynie liczby :)
  
  Zadanie 4.
  Abyśmy mówili o tym samym narysuj proszę (niedokładnie, tylko szkic) ten trójkąt. Krótsza jest przyprostokątna o długości pierwiastek(7) bo ta liczba jest mniejsza niż 3. Następnie nazwij:
  
  krótsza przyprostokątna - "a ; dłuższa - "b" ; przeciwprostokątna - "c".
  
  Dorysuj wysokość i nazwij ją "h".
  Odcinek przeciwprostokątnej pod przyprostokątną "a" nazwij "x".
  Drugi z odcinków przeciwprostokątnej nazwij "y".
  
  Mamy rysunek. Układamy dwa równania na x, y.
  
  x + y = c ; pierwsze równanie, oczywiste
  
  x y = h^2 ; drugie równanie, takie twierdzenie powinno być na lekcji.
  
  Te dwa równania po rozwiązaniu dadzą nam szukane długości odcinków, ale musimy obliczyć długości "c" i "h". Długość przeciwprostokątnej liczymy z tw. Pitagorasa:
  
  c^2 = a^2 + b^2
  c^2 = [ pierwiastek(7) ]^2 + 3^2 = 7 + 9 = 16 ; więc:
  c = 4
  
  Do obliczenia wysokości zauważ, że pole P trójkąta można zapisać na dwa sposoby:
  P = (1/2) a b = (1/2) c h ; stąd:
  h = a b / c = (3/4) * pierwiastek(7) ; czyli
  h^2 = (9/16) * 7 = 63 / 16
  
  Wstawiamy h^2 i c do początkowych równań:
  
  x + y = 4
  x y = 63 / 16 ; z pierwszego równania mamy y = 4 - x, wstawiamy do drugiego
  
  x (4 - x) = 63 / 16 ; wymnażamy nawias, wszystko na jedną stronę i mamy;
  x^2 - 4x + 63 / 16 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe:
  delta = 4^2 - 4 * 1 * 63 / 16 = 1 /4 ; pierwiastek(delta) = 1 / 2
  
  x1 = (4 - 1/2) / 2 = 7 / 4 ; wtedy y1 = 4 - 7 / 4 = 9 / 4
  x2 = (4 + 1/2) / 2 = 9 / 4 ; wtedy y2 = 4 - 9 / 4 = 7 / 4
  
  Dostaliśmy oba rozwiązania jednocześnie - w końcu równanie kwadratowe "nie wie" nic o naszym rysunku. Myśmy oznaczyli przez "x" krótszy odcinek więc parą rozwiązań jest:
  
  x = 7 / 4 ; y = 9 / 4
  =================================
  
  Zadanie 5.
  Najpierw zauważ, że trójkąty ABS i DCS są podobne. Tak, bo kąty przy wierzchołku S mają jednakowe, poza tym kąty BDC i DBA są równe (proste równoległe przecięte prostą BD), podobnie jednakowe są kąty ACD i CAB.
  Skala podobieństwa DSC : ABS jest równa stosunkowi długości podstaw, czyli
  k = 4 / 8 = 1 / 2.
  Pole trójkąta DCS jest więc k^ = 1 / 4 częścią pola trójkąta ABS.
  
  Zauważ następną rzecz: Pola trójkątów ACD i BDC są równe. Tak, mają one jednakową podstawę CD i jednakowe wysokości równe wysokości trapezu. Przy okazji: odcinek BC jest wysokością trapezu bo kąt ABC jest prosty. Czyli wysokość trapezu = 6.
  
  Pola trójkątów ACD i BDC są więc równe: (1/2) * 4 * 6 = 12.
  
  Policzymy teraz pole P trapezu na dwa sposoby. Z jednej strony jest to:
  P = (1/2) * 6 * (8 + 4) = 36 ; "zwykły" wzór na pole trapezu
  
  Z drugiej strony pole trapezu to suma pól:
  
  P = pole(ABS) + pole(ACD)+ pole(BCD) - pole(DCS)
  
  (odejmujemy pole DCS bo liczyliśmy je podwójne sumując pola ACD i BCD)
  Ale wiemy, że pole(ABS) = 9 * pole(DCS), znamy pozostałe pola.
  Wstawiamy wszystkie informacje do powyższego wzoru:
  
  36 = 4 * pole(DCS) + 12 + 12 - pole(DCS) ; stąd:
  3 * pole(DCS) = 12 ; czyli
  
  pole trójkąta DCS = 4 ; oraz pole trójkąta ABS = 4 * 4 = 16
  =================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie