Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 11.1.2016 (14:25)

  PROSTOKĄT O WYMIARACH 2 CM I 5 CM ROZCIĘTO NA DWA PROSTOKĄTY PODOBNE. OBLICZ WYMIARY MNIEJSZEGO Z TYCH PROSTOKĄTÓW.
  
  Narysuj sobie ten prostokąt tak, aby poziomy bok miał 5 cm, a pionowy 2 cm.
  Twierdzę, że należy podzielić prostokąt linią PIONOWĄ. Dowód:
  
  Gdybyśmy podzielili prostokąt linią poziomą, to:
  - albo dzielimy 2 cm dokładnie na pół, ale wtedy powstające prostokąty są identyczne. Jednak w zadaniu jest "wymiary MNIEJSZEGO z prostokątów" więc musi istnieć "mniejszy". Ten sposób odpada.
  - albo dzielimy 2 cm jakoś inaczej. Ale wtedy dłuższe boki powstających prostokątów są jednakowe (po 5 cm), a krótsze różne więc NIE otrzymamy jednakowego stosunku krótszego boku do dłuższego, a to jest warunek podobieństwa prostokątów.
  
  Dzielimy więc linią pionową. Proszę, narysuj sobie taki podział w ten sposób, aby mniejszy prostokąt był po lewej stronie.
  Poziomy bok mniejszego prostokąta niech ma długość "x".
  Wymiary mniejszego prostokąta: krótszy bok: x ; dłuższy bok: 2
  Wymiary prostokąta z prawej strony: krótszy bok: 2 ; dłuższy bok: 5 - x.
  
  Układamy proporcję z podobieństwa prostokątów - i to jest rozwiązanie zadania:
  
  x / 2 = 2 / ( 5 - x ) ; mnożymy "na krzyż"
  x (5 - x) = 4 ; wymnażamy nawias i przenosimy wszystko na lewą stronę
  - x^2 + 5x - 4 = 0 ; rozwiązujemy to równanie kwadratowe
  delta = 5^2 - 4 * (-1) * (-4) = 9 ; pierwiastek(delta) = 3.
  x1 = ( - 5 - 3 ) / ( -2) = 4
  x2 = ( - 5 + 3 ) / ( -2) = 1
  
  Wzięliśmy "x" jako wymiar mniejszego prostokąta, więc odrzucamy rozwiązanie x1 = 4 (poprawne, tylko za duże) i mamy szukane wymiary:
  Mniejszy prostokąt ma wymiary 1 cm X 2 cm
  
  Sprawdzenie: Większy prostokąt ma wymiary: 5 - x = 4 na 2 cm. Stosunek boków:
  1 : 2 = 2 : 4. Zgadza się, są one podobne.
  ======================
  
  DANY JEST TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY O PRZYPROSTOKĄTNYCH DŁUGOŚCI PIERWIASTEK Z 11 I 5 OBLICZ DLUGOŚCI ODCINKÓW, NA JAKIE PODZIELIŁA PRZECIWPROSTOKATNĄ WYSOKOŚĆ POPROWADZONA Z WIERZCHOŁKA KĄTA PROSTEGO.
  
  Ponownie proszę zrób rysunek tak, aby przeciwprostokątna trójkąta z zadania była pozioma. Krótsza przyprostokątna (pierwiastek z 11 = około 3,3) niech będzie po lewej stronie, dłuższa przyprostokątna po prawej. Dorysuj wysokość jak w zadaniu. Teraz oznaczmy:
  h - długość wysokości
  x - krótszy z odcinków, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną (ten po lewej)
  y - dłuższy z tych odcinków.
  c = x + y - cała długość przeciwprostokątnej.
  Masz rysunek - to jedziemy dalej.
  
  Wykorzystamy twierdzenie [ jak nie było na lekcji to pisz proszę na priv ], że:
  
  x y = h^2 ; [ czytaj proszę ^2 jako "do kwadratu" ] <------------ pierwsze równanie
  
  oraz
  
  x + y = c <------------------ drugie równanie
  
  Ten układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi rozwiązuje zadanie, tylko musimy policzyć h^2 oraz c, oczywiście NIE korzystając z powyższych równań. Najpierw "c". Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
  
  c^2 = [ pierwiastek(11) ]^2 + 5^2 = 11 + 25 = 36 ; więc c = 6
  
  Wysokość policzymy tak: Pole trójkąta to połowa iloczynu przyprostokątnych. Z drugiej strony to samo pole to połowa iloczynu podstawy i wysokości. Czyli:
  
  (1/2) pierwiastek(11) * 5 = (1/2) h c ; znamy "c"; c = 6 ; więc:
  pierwiastek(11) * 5 = 6 h ; stąd:
  h = (5/6) * pierwiastek(11) ; czyli
  h^2 = (25/36) * 11 = 275 / 36
  
  Przepisujemy nasze równania 1 i 2
  
  x y = 275 / 36
  x + y = 6
  
  Z dolnego równia mamy y = 6 - x ; wstawiamy to do pierwszego równania:
  
  x ( 6 - x) = 275 / 36 ; wymnażamy nawias, wszystko na lewą stronę
  - x^2 + 6x - 275 / 36 ; Rozwiązujemy to równanie kwadratowe.
  Wychodzi - wiesz, jak to robić, ja użyłem programu -
  
  x1 = 11 / 6 ; x2 = 25 / 6 <----------------- to jest odpowiedź do zadania.
  
  Zauważ, że x1 + x2 = 6, rozwiązanie od razu "wyrzuciło mi" też "y", bo układ równań "nie wiedział" czym jest x, czym jest y - zwróć uwagę, że w układzie równań:
  x y = 275 / 36
  x + y = 6
  nie ma mowy o tym, czy x < y czy odwrotnie :)
  ==================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.
  Wybacz komentarze, ale chciałeś wiedzieć, jak rozumuje się w takich zadaniach. We właściwym rozwiązaniu po prostu przepisujesz te kilka wzorów.
  Pozdro - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    antekL1 11.1.2016 (14:48)

    Zwróć proszę uwagę na metodę - nie waham się użyć dodatkowych zmiennych (h, c). Postępuję w/g zasady "rozwiązałbym to, gdybym znał h, c". W trudnych zadaniach raczej nie da się "podstawić do wzoru", raczej próbuje się założeń typu "o, gdybym znał coś to już wiem" - i potem znaleźć to "coś".
    
    Oczywiście to kwestia praktyki, ale najgorsza jest próba podstawienia do "gotowego wzoru" bo bania by spuchła od tych wzorów!