Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 16.12.2015 (00:46)

  1.
  a)
  Każdą z trzech cyfr można wybrać na 4 sposoby.
  Ilość liczb = 4 * 4 * 4 = 64
  
  b)
  Dwie pierwsze cyfry wybieramy dowolnie, ale ostatnia ma być parzysta,
  więc do wyboru jest tylko 2 lub 4.
  Ilość liczb = 4 * 4 * 2 = 32
  
  c)
  Ilość liczb = zero, bo liczba podzielna przez 10 ma się kończyć zerem,
  a w zestawie nie ma zera.
  =====================
  
  2.
  [ oznaczenie "Omega, nad nią dwie kreski" zapisuję jako "m(Omega)" ]
  
  Zdarzenie elementarne to para liczb (a,b)
  gdzie a, b to liczby ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5 , 6}
  Ilość zdarzeń elementarnych wynosi:
  
  m(Omaga) = 6 * 6 = 36
  
  a)
  Zdarzenie sprzyjające A to zbiór par:
  A = { (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4) } - mamy 5 takich par więc m(A) = 5.
  Prawdopodobieństwo p(A) = m(A) / m(Omega) = 5 / 36
  
  b)
  Zdarzenie sprzyjające B to zbiór par:
  B = {
  (1,1), (1,2), (2,1), (1,4), (4,1), (1,6), (6,1),
  (2,3), (3,2), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (5,6), (6,5)
  }
  Jest 15 zdarzeń sprzyjających; m(B) = 15
  Prawdopodobieństwo p(B) = m(B) / m(Omega) = 15 / 36 = 5 / 12
  
  c)
  Jeśli chodzi o SUMĘ wyrzuconych oczek to zdarzenie sprzyjające C to zbiór par:
  C = { (1,3), (3,1), (2,2), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4) } - 7 zdarzeń sprzyjających, m(C) = 7
  Prawdopodobieństwo p(C) = m(C) / m(Omega) = 7 / 36
  
  d)
  Zdarzenie sprzyjające D to zbiór takich par, gdzie liczba oczek jest jednakowa.
  Jest 6 takich par. m(D) = 6
  Prawdopodobieństwo p(D) = m(D) / m(Omega) = 6 / 36 = 1 / 6
  =====================
  
  3.
  Zdarzenie elementarne to seria pięciu wyników abcde
  gdzie a, b, c, d, e są elementami zbioru { O, R } (orzeł, reszka)
  Ilość zdarzeń elementarnych wynosi: [ czytaj ^ jako "do potęgi" ]
  
  m(Omaga) = 2^5 = 32
  
  Zauważ, że gdy w ten sposób obliczamy ilość zdarzeń elementarnych
  to kolejność JEST istotna, tzn. ciągi zdarzeń np: OOORO i OROOO
  taktujemy jako RÓŻNE zdarzenia.
  
  a)
  Wybieramy dla orłów dwa miejsca z 5 (kombinacje 2 z 5, symbol Newtona)
  m(A) = 5! / (3! * 2!) = 120 / (6 * 2) = 12
  Prawdopodobieństwo p(A) = m(A) / m(Omega) = 12 / 32 = 3 / 8
  Zwróć uwagę, że choć ciągi rzutów OORRR i ORROR traktujemy jako różne,
  to już samych orłów w ciągu OORRR nie rozróżniamy, dlatego kombinacje.
  
  b)
  Wygodniej jest obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:
  "same reszki". Jest tylko jedna taka możliwość; B ' = { RRRRR }
  p(B ' ) = 1 / 36 więc
  Prawdopodobieństwo p(B) = 1 - p(B ' ) = 35 / 8
  
  c)
  Mamy dwa zdarzania sprzyjające:
  C1 - same reszki, liczyliśmy powyżej:
  p(C1) = 1/36
  C2 - dokładnie 1 orzeł. Jest 5 możliwości ( ORRRR, RORRR, itd)
  p(C2) = 5 / 36
  Zdarzenia C1 i C2 są rozłączne, możemy więc zsumować ich prawdopodobieństwa.
  Prawdopodobieństwo p(C) = p(C1) + p(C2) = 1/36 + 5/36 = 1 / 6
  
  d)
  To jest zdarzenie pewne:)
  Prawdopodobieństwo p(D) = 1
  =====================
  
  4.
  Zadanie jest na prawdopodobieństwo warunkowe. Mamy dwa zdarzenia:
  
  U - losujemy urnę. Zdarzenie to rozpada się na rozłączne zdarzenia :
  U1 - losujemy urnę U1
  U2 - losujemy urnę U1
  
  K - losujemy 2 różnokolorowe kule z urny
  
  Zdarzenie, o które chodzi w zadaniu to jednoczesne zajście zdarzeń K i U.
  Do obliczenia mamy prawdopodobieństwo:
  
  p(K n U) = p(K n U1) + p(K n U2)
  (możemy tak napisać, bo zdarzenia U1 i U2 są rozłączne).
  
  Prawdopodobieństwa iloczynów zdarzeń zapisujemy za pomocą
  prawdopodobieństw warunkowych:
  
  p(K n U) = p(K | U1) * p(U1) + p(K | U2) * p(U2)
  
  Obliczamy poszczególne prawdopodobieństwa:
  --------------------
  p(U1) - szansa, że w rzucie kostką wypadną 1 lub 2 oczka ; p(U1) = 1 / 3
  p(U2) - szansa, że w rzucie kostką wypadną 3+ oczka ; p(U2) = 2 / 3
  ---------------------
  p(K | U1) - szansa, że wyciągniemy 2 różnokolorowe kule pod warunkiem, że losujemy z urny pierwszej.
  
  W tej urnie jest 3 + 4 = 7 kul. Ilość możliwych wyborów dwóch kul z 7 jest tyle, ile kombinacji 2 z 7, czyli
  7! / (5! * 2!) = 21.
  Losujemy jedną kulę nie-czerwoną z 3 i jedną czerwoną z 4 ; (12 możliwości)
  Czyli:
  p(K | U1) = 12 / 21 = 4 / 7
  ---------------------
  p(K | U2) - szansa, że wyciągniemy 2 różnokolorowe kule pod warunkiem, że losujemy z urny drugiej.
  
  W tej urnie jest 3 + 2 = 5 kul. Ilość możliwych wyborów dwóch kul z 5 jest tyle, ile kombinacji 2 z 5, czyli
  5! / (3! * 2!) = 10
  Losujemy jedną kulę nie-czerwoną z 3 i jedną czerwoną z 2 ; (6 możliwości)
  Czyli:
  p(K | U2) = 6 / 10 = 3 / 5
  ---------------------
  Wstawiamy wszystkie obliczone prawdopodobieństwa do wzoru na p(K n U)
  
  p(K n U) = (4 / 7) * (1 / 3) + (3 / 5) * (2 / 3) = 62 / 105
  =====================
  
  Mam nadzieję, ze się nie pomyliłem :)
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie