Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 13.12.2015 (19:57)

  Zadanie 1.
  Mamy granicę typu 0 / 0. Funkcje w liczniku i mianowniku są różniczkowalne
  w okolicy x = 0, stosujemy regułę de l'Hospitala - różniczkujemy OSOBNO
  licznik i mianownik. Daje to:
  
  \lim\limits_{x\to 0}\,\frac{3x^2}{\sin x-xe^x}=\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{6x}{\cos x-e^x - xe^x}=
  
  Nadal mamy granicę typu 0 / 0. Różniczkujemy ponownie:
  
  =\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{6}{-\sin x - e^x -e^x - xe^x}=\frac{6}{-0-1-1-0}=-3
  
  =============================
  
  Zadanie 2.
  Nie bardzo wiem, co to znaczy "dziedzina naturalna" - ale Wikipedia podpowiada, że to zbiór takich wartości "x" dla których wzór funkcji ma sens. W tym wypadku mamy dwa warunki:
  
  A: argument funkcji arccos ma być zawarty między -1 i 1 czyli:
  
  -1 <= (5 - 2x) / 3 <= 1 ; co prowadzi do:
  -3 <= 5 - 2x <= 3 ; czyli do:
  -8 <= -2x <= -2 ; mnożymy przez -1 i odwracamy znaki nierówności
  8 >= 2x >= 2 ; stąd:
  4 >= x >= 1 ; czyli licznik ma sens dla x należących do < 1; 4 >
  
  B: Mianownik ma być różny od zera; liczba pod pierwiastkiem nieujemna, czyli:
  
  4 - | x + 2 | > 0 ; mamy dwie pod-sytuacje:
  B1: x + 2 < 0 czyli x < -2. Od razu odrzucamy, bo takie "x" są sprzeczne z warunkiem A.
  B2: x + 2 >= 0 czyli x >= -2. Wtedy | x + 2 | = x + 2 ; dostajemy nierówność:
  4 - (x + 2) > 0 ; stąd:
  2 - x > 0 ; czyli
  x < 2 ; co oznacza, że mianownik ma sens dla x z przedziału < -2; 2 )
  
  Iloczyn zbiorów z warunków A i B daje dziedzinę: D = < 1; 2 )
  (punkt x = 1 jest w dziedzinie, ale x = 2 już nie)
  =============================
  
  Zadanie 3.
  Daj spokój! To masochizm! Wstępne kroki są takie:
  Stosujemy wzór na pochodną ilorazu funkcji: (f / g) ' = [ f ' g - f g ' ] / g^2
  
  Pochodna licznika: Jest to złożona funkcja: e^y gdzie y = x^3.
  Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
  f ' (x) = [ e^(x^3) ] ' = (x^3) ' * (e^y) ' = 3 x^2 * e^(x^3)
  
  Pochodna mianownika: jest to iloraz funkcji czyli:
  g ' (x) = ( sin x * ln x ) ' = cos x * ln x + (sin x) / x
  
  Teraz to wszystko: f, g, f ', g ' trzeba podstawić do początkowego wzoru.
  =============================
  
  Zadanie 4.
  Sprytne! Licznik to (x + 2)^2 i dąży do zera dla x --> -2.
  Okazuje się (przez podstawienie), że x = -2
  jest także pierwiastkiem mianownika: (-2)^4 - 9*(-2)^2 - 4*(-2) + 12 = 0.
  Mianownik daje się więc przedstawić w postaci:
  
  (x^2 + Ax + 3)(x^2 + 4x + 4) = ?? (dla jakiego "A") = x^4 - 9x^2 - 4x + 12
  
  Dlaczego taka postać: x^2 + Ax + 3, a nie bardziej skomplikowana?
  Bo iloczyn współczynników przy x^4 ma dać "1" więc piszę x^2 + ...
  oraz iloczyn wyrazów wolnych ma dać 12, więc piszę ... + 3.
  Dowolną metodą znajdujemy "A" i okazuje się, że całe wyrażenie jest równe:
  
  (x^2+4x+4) / [ (x^2+4x+4) (x^2 - 4x + 3) ]
  
  Skracamy (x^2+4x+4) [ można, bo x jest RÓŻNE od -2, tylko dąży do niego ]
  i mamy granicę dla x --> -2 wyrażenia
  
  1/ (x^2 - 4x + 3) = 1 / (4 + 8 + 3) = 1 / 15 <--------- to jest odpowiedz do zadania
  =============================
  
  Zadanie 5.
  Trzeba 2 razy zróżniczkować po x podaną funkcję.
  Jest to funkcja złożona, pierwsza pochodna to: 2x / (x^2 + 4)
  Druga pochodna, po "pracach porządkowych", wychodzi mi tyle:
  
  f ' ' (x) = 2 (4 - x^2) / (x^2 + 4)^2
  
  Istotny jest licznik (bo mianownik jest zawsze dodatni) drugiej pochodnej.
  Zauważ, że dla x < -2 oraz dla x > 2 licznik jest UJEMNY
  a dla -2 < x < 2 licznik jest DODATNI.
  
  Druga pochodna funkcji f(x) zmienia więc znak w punktach x = - 2 oraz x = 2
  (i są to punkty przegięcia, gdzie f ' ' (x) = 0 i zmienia znak
  [ to WAŻNE aby druga pochodna zmieniła znak, NIE tylko się wyzerowała.
  
  Mamy teraz dwa przedziały:
  A = x należy do ( - oo; - 2) U ( 2; +oo ) gdy f ' ' (x) < 0
  B = x należy do ( - 2; 2 ) gdy f ' ' (x) > 0
  
  W którym z tych przedziałów A, czy B, funkcja jest wklęsła lub wypukła
  - to zdania co do nazwy są różne, ja tego nigdy nie wiedziałem.
  Użyj konwencji podanej na zajęciach :)
  =============================
  
  Pozdrowienia - Antek [ w razie pytań pisz proszę na priv ]

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie