Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 6.12.2015 (10:39)

  [ czytaj proszę x^2 jako "do kwadratu" ]
  
  63.
  Wstawiamy y = x + w do równania paraboli:
  
  (x + 1)^2 + x + w = 2
  
  Jeżeli prosta ma mieć z parabolą jeden punkt wspólny to powyższe równanie ma mieć tylko jedno rozwiązanie, czyli delta tego równania jest zerem.
  Wymnażamy kwadrat, żeby dostać postać ogólną:
  
  x^2 + 2x + 1 + x + w - 2 = 0 ; stąd:
  x^2 + 3x + w - 1 = 0
  delta = 3^2 - 4 * 1 * (w - 1) = 13 - 4w ; to ma być zerem
  13 - 4w = 0
  w = 13 / 4 = 3 i 1/4
  ======================================
  
  64.
  Przed powiększeniem pole boiska wynosiło 20 * 30 = 600 m^2
  Zwiększamy każdy bok o "x" metrów. Nowe pole ma wynosić 2 * 600 = 1200
  
  (20 + x)(30 + x) = 1200 ; stąd po wymnożeniu nawiasów:
  x^2 + 50x - 600 = 0 ; rozwiązujemy to
  delta = 50^2 - 4 * 1 * (-600) = 4900 ; pierwiastek(delta) = 70
  x1 = (-50 - 70) / 2 = -60 ; odrzucamy ujemne rozwiązanie
  x2 = (-50 + 70) / 2 = 10
  Odp: boki należy powiększyć o 10 m.
  Faktyczne - boisko o bokach 30 i 40 ma pole 1200 m^2. Zgadza się.
  ======================================
  
  65.
  Oznaczmy przez v poprzednią prędkość pociągu, przez t - poprzedni czas.
  Przedtem mieliśmy równanie:
  
  200 = v t
  
  Teraz prędkość wynosi v + 10, a czas wynosi t - 1. Mamy równanie:
  
  200 = (v + 10)(t - 1) ; wymnażamy
  200 = v t + 10 t - v - 10 ; podstawiamy całe vt oraz v = 200 / t
  200 = 200 + 10 t - 200 / t - 10 ; stąd;
  10 t - 200 / t - 10 = 0 ; mnożymy przez "t", które NIE jest zerem
  10 t^2 - 10t - 200 = 0 ; dzielimy przez 10 aby mieć mniejsze liczby
  t^2 - t - 20 = 0 ; rozwiązujemy
  delta = 1 - 4*1*(-20) = 81 ; pierwiastek(delta) = 9
  t1 = (1 - 9) / 2 = -4 ; odrzucamy ujemne rozwiązanie
  t2 = (1 + 9) / 2 = 5. To był POPRZEDNI czas, więc obecnie wynosi on 4 h
  ======================================
  
  66.
  Jeśli równanie ma postać: ax^2 + bx + c = 0
  to suma jego pierwiastków x1 + x2 = -b / a.
  W tym równaniu: x^2 - 800x + 159996 = 0 mamy b = -800; a = 1 więc
  x1 + x2 = - (-800) / 1 = 800.
  
  Inna sprawa, że powinno się policzyć deltę aby zobaczyć, czy rozwiązania istnieją.
  delta = (-800)^2 - 4*1*159996 = 16. Jest to więcej od zera, czyli jest OK.
  ======================================
  
  67.
  Zauważ, że x1 = 1 jest rozwiązanie tego równania.
  Wymnóżmy nawias i zapiszmy wszystko po lewej stronie:
  
  x^3 + 11x - 12 = 0 ; ale ponieważ x = 1 jest rozwiązaniem, to równanie ma postać:
  
  (x^2 + Ax + 12)(x - 1) = 0 ; wymnażamy to:
  x^3 + (A - 1) x^2 + (12 - a) x - 12 = 0 ; porównujemy współczynniki przy x
  A - 1 = 0 ; stąd A = 1
  12 - A = 11 ; także A = 1 ; musi się zgodzić. Nasze równanie ma postać:
  
  (x^2 + x + 12)(x - 1) = 0
  Pierwszy nawias jest zawsze dodatni (bo delta < 0)
  więc rozwiązanie x1 = 1 to JEDYNE rozwiązanie.
  ======================================
  
  68.
  Oznaczmy wiek ojca przez x, wiek syna przez y. Mamy:
  x + y = 50
  x = 2(y + 10)
  
  Z pierwszego równania x = 50 - y ; stawiamy do drugiego:
  50 - y = 2y + 20
  30 = 3y
  wiek syna: y = 10
  wiek ojca: x = 50 - 10 = 40
  Faktycznie - gdyby syn miał 10+10 = 20 lat to ojciec byłby 2 razy starszy.
  ======================================
  
  69.
  Oznaczmy TRZECIĄ liczbę przez "x".
  Druga liczba to (3/2) x
  Pierwsza liczba to (1/2) * (3/2) x = (3 / 4) x.
  
  Suma: (3/4)x + (3/2)x + x = 24 ; stąd:
  (13/4)x = 24 ; czyli
  x = 96 / 13 <------------ trzecia liczba
  (3/2)x = 144 / 13 <-------- druga liczba
  (3/4)x = 72 / 13 <-------- pierwsza liczba
  ======================================
  
  70.
  Podstawiamy za x kolejno -2 oraz 3 i mamy dwa równania
  (-2)^3 + a * (-2)^2 + b * (-2) - 6 = 0
  3^3 + a * 3^2 + b * 3 - 6 = 0 ; czyli po uproszczeniach
  
  4a - 2b - 14 = 0
  9a + 3b + 21 = 0
  
  Z tego układu wychodzi: a = 0; b = - 7
  
  Faktycznie, równanie: x^3 - 7x - 6 ma rozwiązania x1 = -2 oraz x2 = 3.
  (ma też trzecie: x3 = -1, ale to nieważne)
  ======================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie