Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 14.11.2015 (09:23)

  Zadanie 1.
  Przekształcenie (n+6) / (n+3) na 1 + 6 / 3 jest CAŁKOWICIE błędne!
  
  Robimy tak: Próbujemy wyrażenie w nawiasie przekształcić do postaci 1 + 1 / a(n)
  aby skorzystać z twierdzenia, że granicą wyrażenia [ 1 + 1 / a(n) ]^a(n) jest "e".
  
  \frac{n+6}{n+3}=1+\frac{3}{n+3} = 1 + \frac{1}{(n+3)/3}
  
  Nasze wyrażenie a(n) = (n+3) / 3.
  Przekształcamy wykładnik tak, aby wystąpiło w nim (n+3)/3
  
  4n+2 = 4(n+3)-10=12(n+3)/3 - 10
  
  Całą granicę można teraz zapisać tak:
  
  =\lim_{n \to\infty} \left(1+\frac{1}{(n+3)/3} \right )^{12(n+3)/3-10}=
  
  ta granica będzie skończona ("e" do jakiejś potęgi) i można ją rozbić na iloczyn granic jak niżej, a także "wynieść" 12 potęgę przed symbol granicy,, gdyż potęga 12 to nic innego niż 12-krotne mnożenie przez siebie, a granica iloczynu jest równa iloczynowi granic (o ile są skończone, a u nas są). Dostajemy:
  
  =\left[\lim_{n \to\infty} \left(1+\frac{1}{(n+3)/3} \right )^{(n+3)/3} \right ]^{12}\cdot\lim_{n \to\infty} \left(1+\frac{1}{(n+3)/3} \right )^{-10}=e^{12}
  
  =================================
  
  Zadanie 2.
  Granicą jest + nieskończoność, chyba, że pierwiastek jest stopnia "n",
  wtedy granicą jest 1. Zamieść proszę zadania z pierwiastkami oddzielnie.
  
  W pozostałych zadaniach stosujemy tą samą metodę co w zadaniu 1.
  
  Zadanie 3.
  Wyrażenie a(n) to "-n^2". Przekształcamy granicę w taki sposób:
  
  =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-n^2} \right )^{-n^2/(-n)}=\lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{-n^2} \right )^{-n^2} \right ]^{-1/n}= e^0 = 1
  
  Wyrażenie wewnątrz nawiasu kwadratowego dąży do "e", a wykładnik -1/n dąży do zera,
  dlatego całość dąży do e^0 = 1.
  =================================
  
  Zadanie 4.
  Wyrażenie a(n) = -n/3. Granica z zadania przechodzi w:
  
  =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-n/3} \right )^{-n/3\cdot (-3)}=\frac{1}{\left[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-n/3} \right )^{-n/3} \right ]^3}= \frac{1}{e^3}
  
  [wykorzystujemy fakt, że mnożenie wykładników oznacza potęgowanie potęgi, tzn:
  a ^ (b * c) = (a ^ b) ^ c ]
  =================================
  
  Zadanie 5.
  a(n) = -n/4; dostajemy:
  
  \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-n/4} \right )^{(-n/4)\cdot4}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{-n/4} \right )^3=e^4\cdot 1=e^4
  
  ponieważ dodawanie wykładników oznacza mnożenie potęg tzn.
  a^(b+c) = a^b * a^c,
  granica iloczynu jest równa iloczynowi granic (o ile są skończone, a tutaj są).
  =================================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie