Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 12.11.2015 (14:30)

  [ czytaj znaczek ^ jako "do potęgi" ]
  
  Zadanie 1.
  Pod pierwiastkiem ma być liczba nieujemna, a pod logarytmem liczba dodatnie.
  Daje to dwie nierówności:
  
  A: x^2 + 3x - 10 >= 0
  B: 4 - x > 0
  
  Nierówność A da się zapisać jako (x - 2)(x + 5) >= 0
  Ponieważ współczynnik przy x^2 jest dodatni rozwiązaniami są liczby
  leżące na lewo od mniejszego z pierwiastków równania (x - 2)(x + 5) = 0 czyli x <= -5
  oraz na prawo od większego z pierwiastków czyli x >= 2.
  
  Nierówność A jest spełniona w przedziale A = (-oo; -5> U <2; +oo)
  
  Nierówność B oznacza x < 4 czyli przedział B = (-oo; 4)
  
  Rozwiązaniem jest Iloczyn przedziałów D = A n B.
  
  Dziedzina D = ( - oo; - 5 > U < 2; 4 )
  ==========================================================
  
  Zadanie 2.
  "Złożenie" funkcji (g o f) traktujemy jako g ( f(x) ) czyli do wzoru na g
  podstawiamy w miejsce x wzór na funkcję f(x). Daje to:
  
  h1(x) = ( x+ 2)^2 - 4
  
  Wykres: Narysuj parabolę y = x^2
  i przesuń ją w poziomie o 2 jednostki w lewo i w pionie o 4 jednostki w dół.
  
  Analogicznie (f o g) to f( g(x) ) czyli do wzoru na f wstawiamy w miejsce x wzór na g(x).
  
  h1(x) = (x^2 - 4) + 2 = x^2 - 2
  
  Wykres: Narysuj parabolę y = x^2
  i przesuń ją w poziomie o 2 jednostki w lewo i w pionie o 2 jednostki w dół.
  ==========================================================
  
  Zadanie 3.
  Miejsca zerowe: Argument sinusa musi się równać k * pi gdzie k - całkowite. Stąd:
  
  2x - pi / 3 = k * pi ; czyli
  2x = pi/3 + k * pi ; czyli
  x = pi / 6 + (1/2) k * pi
  
  Okres: Okresem funkcji sinus jest 2 * pi
  więc funkcja z zadania przyjmuje takie same wartości dla argumentów
  różniących się o 2 *pi ; czyli
  
  2 * Delta_x = 2 * pi stąd okres Delta_x = pi
  
  Zbiór wartości:
  Ponieważ funkcja sinus ma wartości od -1 do 1 to 3sin(...) przyjmuje wartości:
  
  ZW = < - 3; 3 >
  
  Wykres jest w załączniku.
  Rysujesz funkcję sin(2x), przesuwasz ją o pi/3 w prawo i 3-krotnie rozciągasz w pionie.
  Masz zaznaczone dwa pierwsze miejsca zerowe ( pi/6 i 4 pi/6 ), następne powtarzają się co pi.
  ==========================================================
  
  Zadanie 4.
  
  \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}\cdot 3^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n\cdot 3^n}}=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}\cdot 3^{n+1}}\cdot\frac{n^n\cdot 3^n}{n!} \right ]=
  
  Skracamy prawie do końca silnie, 3^n oraz jedno n+1 ; zostaje :
  
  =\lim_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n\cdot 3}=\frac{1}{3}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1} \right )^n
  
  Ostatnia granica po prawej to 1 / e, [ dowód poniżej ]
  więc całość ma granicę 1 / (3e)
  ==========================================================
  
  Dowód na granicę [ n / (n + 1) ]^n :
  
  Przypominam, że wyrażenie: [ 1 - 1 / a(n) ] ^ a(n)
  ma granicę "1 / e" gdy a(n) --> oo [ na pewno było to na wykładzie ].
  Przekształcamy granicę po prawej stronie tak:
  
  =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1-1}{n+1} \right )^{n+1-1} =\frac{\lim\left(1-\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}}{\lim\left(1-\frac{1}{n+1} \right ) }=\frac{1}{e}
  
  gdyż wyrażenie w liczniku ma wymaganą postać, a granicą licznika jest 1.
  Można wyrazić granicę ilorazu jako iloraz granic gdyż obie granice są skończone i niezerowe.

  Załączniki

  • wykres_3.pdf (26 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie