Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 1.11.2015 (21:59)

  Zadanie 12. ( w załączniku rysunki w pliku "rysunek_12.pdf")
  
  "Natalka7822" : Tak naprawdę rozwiązanie tego zadania polega na narysowaniu
  trzech prostych równoległych do boków trójkąta równobocznego.
  Proste powinny przechodzić przez punkt P. Rozwiązanie est prawie "natychmiastowe".
  Ale jak zacząłem to rysować, to się zrobiło tyle trójkątów, punktów itp,
  taki bałagan, że zdecydowałem się na 2 rysunki.
  Jak złapiesz ideę rozwiązania to sama sobie zrobisz właściwy rysunek.
  
  Moje - trochę przydługie - rozwiązanie:
  
  Rysunek po lewej stronie:
  Mamy udowodnić, że wysokość CG trójkąta ABC (czerwona kreska)
  jest równa SUMIE odległości punktu P od boków trójkąta ABC,
  czyli sumie długości niebieskich odcinków PD, PE, PF.
  Prowadzimy prostą HI, równoległą do AB.
  Widzisz, że odległość PD = JG i zadanie sprowadza się do:
  
  "Suma długości |PE| + |PF| jest równa wysokości (równobocznego) trójkąta HIC"
  To jest na rysunku z prawej strony - tylko UWAGA! nazwy punktów są inne,
  bp program do rysowania mi nie pozwalał, a trochę mi się nie chciało...
  
  Punkt P to teraz punkt N na podstawie KL..
  Pozostałe dwie odległości to NQ i NR (odpowiedniki PE i PF z lewej strony)
  Rysujemy dwa równoległe do boków trójkąta KLM odcinki:
  NS równoległe do KM i SO równoległe do KL.
  
  Odcinek NQ ma taką samą długość jak odcinek SU (jasne??)
  Odcinek TS jest równy NR (bo trójkąt NLS jest równoboczny)
  
  W trójkącie NLS równe są: NR i ST (bo trójkąt jest równoboczny)
  
  W trójkącie QSM pionowa wysokość (nie narysowałem) jest równa |US|
  (bo trójkąt jest równoboczny)
  No to teraz widzisz, że |US| + |ST| = |NQ| + |NR|
  - czyli udowodniliśmy, że:
  dla punktu N położonego na podstawie trójkąta równobocznego
  suma jego odległości od pozostałych boków jest równa wysokości trójkąta KLM.
  
  Jak do tego dodać rysunek z lewej strony to mamy udowodnione całe zadanie.
  
  Tu NIE trzeba nic liczyć - tylko pokazywać.
  
  Przepraszam Cię za ten cały opis, myślę, że z rysunków załapiesz to od razu,
  ale uważaj! Trójkąt MA BYĆ RÓWNOBOCZNY aby tak swobodnie porównywać wysokości. Dla innego trójkąta to nie wyjdzie (a może ? spróbuj :) O pomysłach pisz proszę na priv.
  =====================================================
  
  Zadanie 13 (załącznik "rysunek_13_14.pdf", ten górny)
  
  Narysujmy taki trapez.
  Niech a = |AB| oraz b = |BC| = |CD| = |DA| - takie są wymagania z zadania.
  Prowadzimy (niebieską) linię DE równoległą do BC.
  Wydziela ona z trapezu równoległobok EBCD z czerwoną przekątną.
  Ale zauważ, że to jest ROMB bo wszystkie boki równe są "b". <--- warunek zadania !
  A przekątna rombu jest jego osią symetrii więc kąt EBD = kąt DBC.
  Więc BE jest dwusieczną kąta EBC..
  
  Dla wierzchołka A dowodzimy tak samo, , tylko trzeba niebieską linię DE
  zastąpić równoległą do ramienia AD
  =====================================================
  
  Zadanie 14. (załącznik "rysunek_13_14.pdf", ten dolny)
  
  Prowadzimy wysokości JL i HK (rysunek)
  Popatrz na odcinki FJ i KG na rysunku!
  Widzisz, że z dolnej podstawy "wycina się" odcinek JK o długości 12,
  czyli długości:
  | FJ | = | KG \ = (18 - 12) / 2 = 3
  
  Skoro kąt LFJ = 45 stopni (powiedziane jest to w zadaniu)
  to wysokość trapezu |JL| = 3
  
  Pole mamy od razu:
  P = 3 * (18 + 12) / 2 = 45
  
  Obwód: Z trójkąta równoramiennego z kątek 45 stopni i tw. Pitagorasa mamy:
  | FL| = 3 * pierwiastek(2)
  
  Obwód L = 12 + 18 + 2 * 3 * pierwiastek(2) =
  = 30 + 6 * pierwiastek(2)
  =====================================================
  
  Zadanie 15.
  To zadanko zawiera "pułapkę" w postaci:
  "Długość trzeciego boku trójkąta NIE może być większa (lub równa)
  sumie długości pozostałych boków"
  
  Jak boki mają długości 3 i 5, to trzeci bok ma szansę być:
  0 - nie, bo to nie trójkąt
  1 lub 2 - nie, bo to nie liczba pierwsza [ MOIM zdaniem, ale spytaj nauczyciela ]
  3 - pasuje ? Zobaczymy.
  4 - NIE, to nie liczba pierwsza
  5 -pasuje ? Zobaczymy.
  6 - NIE, to nie liczba pierwsza
  7 - pasuje ? Zobaczymy.
  8 - NIE, to nie liczba pierwsza
  9 - STOP! Za długi bok! 3 + 5 < 9. Nie istnieje taki trójkąt.
  
  Czyli mielibyśmy typowane 3 rozwiązania, analizujemy je [ jak - patrz uwaga niżej ]
  3, 3, 5 <---- sensowne
  3, 5, 5 <---- sensowne
  3, 5, 7 <---- sensowne
  
  [UWAGA! ŻADNA długość boku nie może być większa niż suma pozostałych,
  np. trójkąta o bokach 1, 5, 3 NIE da się zbudować bo wprawdzie 3 < 1 + 5
  ale 5 nie jest mniejsze od 1 + 3].
  Dlatego te zestawy powyżej trzeba przetestować na wszystkie możliwe sumy,
  ale moim zdaniem nie ma błędu.
  
  W zadanie NIE ma warunku, że mają to być RÓŻNE liczby.
  Ale obawiam się, że w odpowiedzi jest - nieprawidłowo - tylko 3, 5, 7
  
  Pisz na priv w razie pytań :)
  Pozdro - Antek
  =====================================================

  Załączniki

  • rysunek_12.pdf (10 KB)

  • rysunek_13_14.pdf (8 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie