Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 31.10.2015 (09:09)

  [ Rysunki do zadań 1,2,3 są w załączniku ]
  
  Zadanie 1. (górny rysunek)
  
  Przekątna KN jest prostopadła do boku LN czyli kąt LNK jest prosty.
  Trójkąt LNK jest więc prostokątny i kąt NLK = alfa jest kątem ostrym.
  Jedyny kąt, z którym alfa może sumować się do 90 stopni to kąt NMK.
  Ale w równoległoboku kąty NLK i NMK są równe czyli kąt NMK = alfa.
  Mamy:
  2 * alfa = 90 stopni więc alfa = 45 stopni.
  Z trójkąta LNK wynika, że kąt NKL jest także równy 45 stopni.
  Trójkąt LNK jest więc równoramienny czyli długość odcinka LN = 8 cm.
  Trójkąt LNK ma więc pole równe (1/2) * 8 * 8 = 32 cm^2
  a cały równoległobok pole P = 64 cm^2
  ====================================
  
  Zadanie 2. (środkowy rysunek)
  
  Dwusieczne kątów FEG i EGH (niebieskie) przecinają się w punkcie P
  pod kątem EPG = alfa.
  Suma kątów w trójkącie = 180 stopni więc kąt alfa jest równy:
  
  alfa = 180 - kąt PEG - kąt EGP = 180 - (kąt PEG + kąt EGP)
  
  Ale kąt PEG jest połową kąta FEG (bo PE jest dwusieczną tego kąta),
  podobnie kąt EGP jest połową kąta EGH. Wobec tego
  
  alfa = 180 - (1/2) * (kąt FEG + kąt EGH)
  
  W równoległoboku suma sąsiednich kątów wynosi 180 stopni czyli:
  
  kąt FEG + kąt EGH = 180 ; więc:
  
  alfa = 180 - (1/2) * 180 = 90 stopni, co należało udowodnić.
  ====================================
  
  Zadanie 3. (dolny rysunek)
  
  Dwusieczna kąta BCD jest zaznaczona zielona linią.
  Trójkąt jest "spłaszczony" aby uniknąć sugestii, że jest to trójkąt prostokątny.
  NIE musi być taki. Wystarczy, że jest równoramienny (warunek |AC| = |BC|.
  
  W trójkącie równoramiennym kąty CAB i ABC są równe. Kąt ACB wynosi więc:
  
  kąt ACB = 180 - 2 * kąt CAB.
  
  Suma kątów ACB i BCD wynosi 180 stopni (bo punkty A,C,D leżą na jednej prostej).
  Więc kąt BCD = 2 * kąt CAB.
  Ponieważ zielona linia jest dwusieczną kata BCD to kąt między nią i prostą AD
  jest połową kąta BCD czyli:
  
  Dwusieczna kąta BCD tworzy z prostą AD kąt CAB, taki sam jaki tworzy z prostą AD
  podstawa AB trójkąta, więc ta dwusieczna jest równoległa do podstawy
  (co było do udowodnienia).
  ====================================

  Załączniki

  • rysunki_1_2_3.pdf (8 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie