Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 29.10.2015 (15:48)

  Z kryterium d'Alamberta otrzymujemy
  
  \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{1}{(2n+2)!}}{\frac{1}{(2n)!}}=\frac{(2n)!}{(2n+2)!}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}
  
  Dla dużych "n" wyrażenie po prawej stronie dąży do zera
  więc szereg jest zbieżny
  =================================
  
  UWAGA: Twierdzenie (albo "kryterium") d'Alemberta pozwala stwierdzić,
  czy szereg jest zbieżny, czy nie - i chyba o to chodzi w zadaniu.
  
  ALE:
  Jeżeli mieliście już rozwijanie funkcji w szereg (McLaurina i Taylora)
  to można obliczyć sumę tego szeregu :)
  
  Jest to po prostu:
  
  \sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n)!}=\cosh(1)=\frac{e + 1/e}{2}
  
  gdzie "cosh" to kosinus hiperboliczny. Faktycznie, ponieważ kolejne pochodne kosinusa hiperbolicznego to na przemian sinus hiperboliczny i kosinus hiperboliczny, czyli:
  [cosh(x)] ' = sinh(x)
  [cosh(x)] '' = cosh(x)
  [cosh(x)] ''' = sinh(x)
  [cosh(x)] '''' = cosh(x)
  .....
  to rozwinięcie cosh(x) w szereg McLaurina wygląda tak:
  
  \cosh(x) = 1 + \sinh(0)\frac{x}{1!}+\cosh(0)\frac{x^2}{2!}+\sinh(0)\frac{x^3}{3!}+\cosh(0)\frac{x^4}{4!}+...
  
  to [ ponieważ sinh(0) = 0 oraz cosh(0) = 1 ] dostajemy:
  
  \cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+ \frac{x^4}{(2n)!}+...
  
  i po podstawieniu x = 1 mamy sumę ciągu podanego w zadaniu.
  =====================
  
  Nawet bez użycia kosinusa hiperbolicznego można też tak:
  
  e = 1 + \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}+ \frac{1}{5!}+...
  
  oraz
  
  \frac{1}{e} = 1 - \frac{1}{1!}+ \frac{1}{2!}- \frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}- \frac{1}{5!}+...
  
  Sumujemy e + 1/e. Wyrazy z nieparzystym "n" się skracają.
  Dzielimy sumę przez 2 i mamy szereg podany w zadaniu.
  =======================
  
  
  
  

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie