Treść zadania

Rozwiązania

• 

  2 0

  antekL1 21.10.2015 (08:55)

  Lekcja. Wyznacz wymiary trójkąta prostokątnego o P=100cm^2 który ma najkrótszą przeciwprostokątną.
  Odp. Jest to trójkąt prostokątny o rozmiarze 10√2(wówczas c=20)
  
  Oznaczmy przez a, b długości PRZYprostokątnych tego trójkąta,
  oraz przez c długość PRZECIWprostokątnej.
  
  Ze wzoru na pole trójkąta: "P = (1/2) a b" mamy b = 2P / a.
  Przeciwprostokątna ma wtedy długość:
  
  c = pierwiastek [ a^2 + (2P/a)^2 ] ; [ czytaj ^2 jako "do kwadratu" ]
  
  Mamy funkcję c(a) na długość przeciwprostokątnej w zależności od "a"
  przy ustalonym polu P. Szukamy minimum tej funkcji - o ile istnieje.
  
  Zauważ, że równie dobrze można szukać minimum KWADRATU długości "c".
  Bierzemy pochodną jak niżej i porównujemy do zera:
  
  \frac{d}{da}c^2 = \frac{d}{da}\left(a^2 + \frac{4P^2}{a^2} \right )= 2a-\frac{8P^2}{a^3}=0
  
  (Unikamy w ten sposób różniczkowania pierwiastka). Z równania powyżej wynika:
  
  a^4 - 4P^2 = 0 ; czyli a^4 = 4P^2 ; stąd a = pierwiastek(2P)
  
  (bierzemy oczywiście pod uwagę tylko dodatnie wartości "a").
  
  Zauważ, że dla małych "a" dominujący w pochodnej jest wyraz 8P^2 / a^3
  więc pochodna jest ujemna, a dla dużych "a" dominuje wyraz 2a.
  Pochodna zmienia znak z minus na plus więc jest to minimum funkcji c(a)
  
  Odp: a = pierwiastek(2 * 100) = 10 * pierwiastek(2) cm
  
  Taki trójkąt stanowi połówkę kwadratu przeciętego przekątną.
  
  W załączniku "w1.pdf" jest wykres funkcji c(a) [ skale na osiach są RÓŻNE ].
  ====================
  
  Praca domowa:
  1. Rozwiąż zadanie dualne z wyższego zadania, wyznacz wymiary trójkąta prostokątnego której przeciwprostokątna c=5√2 ma mniejsze pole powierzchni.
  
  Chyba "najWIĘKSZE" ??? Bo najmniejsze ma wtedy, gdy a = 0.
  
  "Na logikę" to będzie taka sama połówka kwadratu jak w poprzednim zadaniu.
  Ale policzmy: (oznaczenia jak poprzednio). Mamy pole P = ab/2 czyli:
  
  P^2 = a^2 b^2 / 4 ; z tw. Pitagorasa b^2 = c^2 - a^2 ; więc:
  
  4 * P^2 = a^2 (c^2 - a^2) ; szukamy maksimum tej funkcji.
  
  \frac{d}{da}\left[a^2(c^2-a^2) \right ]=-2a^3+2a(c^2-a^2)=0
  
  Odrzucamy a = 0 (bo to byłoby MINIMUM pola, dzielimy przez 2a i mamy:
  
  -a^2 - a^2 + c^2 = 0 ; czyli a = c / pierwiastek(2)
  
  Odpowiedź: a = 5 * pierwiastek(2) / pierwiastek(2) = 5.
  Oczywiście wtedy b = 5.
  
  Analizę, że jest to maksimum można zrobić prościej:
  Skoro pochodna zeruje się w trzech punktach: a=0; a=c; a = c/pierwiastek(2)
  i pole osiąga minimum dla a=0 lub a=c,
  to MUSI mieć maksimum w punkcie pośrednim a = c/pierwiastek(2)
  
  Załącznik "w2.pdf" zawiera wykres funkcji P(a)
  
  ====================

  Załączniki

  • w1.pdf (5 KB)
  • w2.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie