Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  2 0

  antekL1 9.10.2015 (18:12)

  [ czytaj ^2 jako "do kwadratu, jeśli tego symbolu gdzieś używam ]
  
  Zadanie 1.
  Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.
  Symbol "a" to pierwszy z pierwiastków ; symbol "b" to drugi pierwiastek.
  Mamy takie przekształcenie wyrażenia z zadania:
  
  = \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}} \right )^2 - 2\cdot \left(\sqrt{3-2\sqrt{2}} \right )\cdot \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}} \right ) + \left(\sqrt{3+2\sqrt{2}} \right )^2 =
  
  Kwadraty a^2 i b^2 "kasują się" z pierwiastkiem,
  a w środkowym wyrażeniu ponownie używamy wzoru skróconego mnożenia,
  tym razem w postaci: (c - d)(c + d) = c^2 - d^2
  
  = \left(3-2\sqrt{2} \right ) - 2\cdot\sqrt{\left(3-2\sqrt{2} \right )\left(3+2\sqrt{2} \right )}+\left(3+2\sqrt{2} \right )=
  
  = 3+3-2\sqrt{2}+2\sqrt{2} - 2\cdot\sqrt{3^2-\left(2\sqrt{2} \right )^2} = 6 -2\cdot\sqrt{9-8} = 4
  
  Jak widzisz wynikiem jest po prostu liczba "4", czyli liczba naturalna.
  =============================
  
  Zadanie 2.
  O ile zero uważamy za liczbę naturalną (zdania są różne)
  to pokażemy, że wynik jest zerem (czyli że a = 0).
  
  Użyjemy takiego wzoru skróconego mnożenia:
  
  b^3 - c^3 = (b - c)(b^2 + bc + c^2)
  
  i podstawimy:
  b = pierwiastek_stopnia_3 (z 3)
  c = pierwiastek_stopnia_3 (z 2)
  
  Dlaczego tak? Bo zauważ, że wyrażenie z zadania można zapisać teraz tak:
  
  a = \frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}-\left(\sqrt[3]{3^2} + \sqrt[3]{3}\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2^2} \right )=\frac{1}{b-c}-\left(b^2+bc+c^2 \right )
  
  Wolno mi pomnożyć "a" przez różnicę (b - c) bo nie jest ona zerem.
  Z ułamka 1 / (b - c) dostaniemy wtedy jedynkę, a z nawiasu po znaku minus mamy wyrażenie b^3 - c^3 --- właśnie na podstawie wzoru skróconego mnożenia napisanego wyżej.
  Całość wygląda tak:
  
  a(b-c)=\frac{b-c}{b-c}-(b^2+bc+c^2)(b-c)=1 - (b^3-c^3) = 1 - (3-2) = 0
  
  ponieważ "b" i "c" to sześcienne pierwiastki z 3 i z 2, więc podniesione do sześcianu dają właśnie różnicę "3 - 2". Skoro "a" mnożone przez NIEZEROWĄ liczbę (b - c) daje zero, to
  a = 0
  Jeżeli uznamy zero za liczbę naturalną to stwierdzenie: a = 0 kończy dowód.
  =============================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie