Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 26.9.2015 (17:05)

  Zadanie na górze, z granicą.
  
  Jeżeli wolno stosować twierdzenie de l'Hospitala
  (wolno, bo granica jest typu 0 / 0 i licznk i mianownik są różniczkowalne po "x")
  to Twoja granica:
  
  \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x} = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\left(e^x-e^{-x} \right )'}{\left(\sin x\right )'}= \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^x + e^{-x}}{\cos x}= \frac{1+1}{1}=2
  
  gdzie "prim" to pochodne po "x"
  
  Jeżeli obejdziemy się bez delopitala to można rozwinąć licznik i mianownik w szereg:
  
  \lim\limits_{x\rightarrow 0}... = \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\left(1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + o(x^3)\right )-\left(1 - \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} - o(x^3)\right )}{\frac{x}{1} - o(x^3)} = \frac{2x}{x}=2
  
  [ Tam jeszcze przed (2x) / x trzeba dopisać "lim..." ale się nie mieści w linijce ].
  
  Symbol o(x^3) to małe wartości, dążące do zera szybciej niż "x" lub "x^2|.
  Jak widać mamy ten sam wynik.
  Rozwinięcie w szereg e^x lub sin(x) było pewnie na wykładach.
  ==========================
  
  Zadania środkowe, z całką
  
  Nie ma na całki jakiegoś "algorytmu postępowania", NIE umiem Ci podać metod.
  Po prostu zauważyłem, że przed cos(x^2) jest "x" i jak zrobimy taką pochodną:
  
  \left[\,\sin\left(x^2 \right ) \right \,]' = 2x\,\cos\left(x^2 \right )
  
  to wyjdzie prawie to, co chcemy. Czyli
  
  \int = \frac{1}{2}\sin\left(x^2\right) + C
  
  Wskazówki:
  - Ta całka jest całką z pochodnej funkcji g(x) = (1/2) * sin(x^2).
  A całka z pochodnej [ tzn. g'(x)] to funkcja g(x) co najwyżej różna o stałą "C"
  [ to jest "podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego" ]
  
  Przykład: całka(2x * dx) = x^2 + C ; ponieważ pochodna (x^2) ' = 2x.
  Zrobiłem to samo z pochodną sin(x^2), tylko bardziej skomplikowanie.
  
  - Pochodna funkcji złożonej "wyrzuci" 2x przed funkcję z x^2.
  A skoro już to "załatwi" czynnik "x" to tylko trzeba sinus zamienić na kosinus.
  Tak rozumowałem :)
  ==========================
  
  
  Zadania na dole z max / min wartości
  
  Dziedziną tej funkcji (aby pod pierwiastkiem była nieujemna wartość) jest:
  D = < -10; 10 >
  Obie końcówki podanego przedziału należą do dziedziny.
  
  Wykres funkcji podpierwiastkowej ma maksimum dla x = 0 [ jasne, prawda? ]
  więc
  Największa wartość = pierwiastek(100) = 10
  
  Aby sobie ułatwić obliczenia wartości minimalnej zauważmy,
  że funkcja pod pierwiastkiem ma miejsca zerowe x1 = -10 oraz x2 = 10.
  Jest symetryczna względem prostej x = 0.
  Wobec tego jej wartość w x = 8 będzie MNIEJSZA niż w x = -6,
  go "8" leży BLIŻEJ miejsca zerowego.
  
  pierwiastek(100 - 8^2) = pierwiastek(36) = 6 <---------- minimalna wartość.
  
  Ponownie podaję Ci metodę swojego rozumowania, nie ogólny algorytm,
  bo takiego nie ma.
  ==========================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv [ a jeśli mieszkasz w Warszawie,
  to zapraszam na konsultacje, biorę haracz w postaci piwka, raczej tanio ]

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie