Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  3 0

  antekL1 14.9.2015 (01:22)

  Zadanie A.
  (poniżej znaczek ^ oznacza "and", 0 oznacza fałsz, 1 oznacza prawdę )
  
  To NIE jest tautologia.
  
  Zamieniamy wynikanie "a --> b" na równoważną formę: "~a v b".
  Lewa strona jest wtedy równa:
  
  L = (~q v ~r) v [ ~( p ^ q) v (~s ^ r) ]
  
  i dalej (prawo de Morgana)
  
  L = ~q v ~r v (~p v ~q) v (~s ^ r) ; czyli
  
  L = ~p v ~q v ~r v (~s ^ r)
  
  To wyrażenie jest fałszem tylko wtedy, gdy mamy 0 v 0 v 0 v 0 ; co oznacza, że:
  ~p = 0 ; czyli p = 1
  ~q = 0 ; czyli q = 1
  ~r = 0 ; czyli r = 1
  (~s ^ r) = 0 ; czyli r, s mogą być dowolne poza sytuacją s = 0, r = 1
  
  ------------------------
  
  W szczególności lewa strona jest fałszem gdy p = q = r = s = 1.
  Sprawdźmy to na oryginalnym wyrażeniu, czyli na:
  
  L = (q --> ~r) v [ (p ^ q) --> (~s ^ r) ]. Podstawiamy:
  
  L = (1 --> 0) v [ (1 ^ 1) --> (0 ^ 1) ] ; Redukujemy:
  
  L = 0 v [ 1 --> 0 ] ; Dalej redukujemy:
  
  L = 0 v 0 ; czyli L = 0
  
  Tymczasem prawa strona w tych samych warunkach, tzn. gdy p = q = r = s = 1 wynosi:
  
  P = [ (1 v 1) ^ (0 v 1) ] --> (1 --> 1) ; Redukujemy:
  
  P = [ 1 ^ 1 ] --> 1 ; Dalej redukujemy:
  
  P = 1 --> 1 czyli P = 1
  
  Mamy sprzeczność, podane wyrażenie nie jest tautologią.
  ========================
  
  Do zadania D nadal nie jestem przygotowany, sorry :(
  Pozdo - Antek

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    AlmostH 14.9.2015 (10:04)

    Serdecznie dziękuję za pomoc.Pozdrawiam

  • 

    antekL1 14.9.2015 (09:10)

    Czytaj proszę moje komentarze od końca (od najniższego)

  • 

    antekL1 14.9.2015 (08:40)

    Wyrażenie po prawej stronie sprowadzamy podobnie do formy:
    P = ~ ((r v s) ^ (~s v p)) v (~p v q) ; i dalej z prawa de Morgana
    P = ~(r v s) v ~(~s v p) v (~p v q) ; i dalej z prawa de Morgana
    P = (~r ^ ~s) v (s ^ ~p) v (~p v q) ; i po serii przekształceń:
    
    P = ~p v q v ( ~r ^ ~s )
    
    Teraz wyraźnie widać, że dla p = q = r = s = 1 wychodzi:
    P = 0 v 1 v (0 ^ 0) ; czyli
    P = 0 v 1 v 0 ; czyli
    P = 1 co daje sprzeczność :)

  • 

    antekL1 14.9.2015 (08:26)

    Wyrażenie L = ~p v ~q v ~r v (~s ^ r) można jeszcze uprościć używając wzoru
    a v (b ^ c) = (a v b) ^ (a v c)
    mianowicie:
    L = ( ~p v ~q v ~r v ~s ) ^ ( ~p v ~q v ~r v r)
    
    Nawias po prawej stronie jest zawsze prawdziwy z powodu ~r v r ;
    zostaje eleganckie:
    L = ~p v ~q v ~r v ~s
    
    Teraz widać, że L = fałsz tylko wtedy gdy p = q = r = s = 1.