Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 22.6.2015 (11:52)

  Zadanie 3.
  Część pierwsza: Ustalenie wzoru funkcji F(x)
  
  Przenosimy 1 / (x + 1) na prawą stronę i sprowadzamy ją do wspólnego mianownika
  
  1 / (y + 2) = 1 - 1 / (x + 1)
  1 / (y + 2) = (x + 1 - 1) / (x + 1)
  1 / (y + 2) = x / (x + 1)
  
  Zamieniamy miejscami liczniki i mianowniki:
  
  y + 2 = (x + 1) / x ; odejmujemy 2 od obu stron i mamy szukaną funkcję F(x)
  
  y = F(x) = -2 + (x + 1) / x
  
  Napiszmy ten wzór jeszcze inaczej na potrzeby dalszej części rozwiązania.
  Ułamek (x + 1) / x = 1 + 1 / x ; czyli:
  
  F(x) = -1 + 1 / x <------------- wzór numer 1
  
  ======================
  
  Część druga: Wykres funkcji g(x) = y - | F(x) | [ załącznik "wykresy.pdf" ]
  
  Zauważ, że F(x) to po prostu "y". Wobec tego jeśli y >= 0 to | y | = y
  i cała funkcja g(x) = y - y = 0.
  Jeśli y < 0 to | y | = - y i cała funkcja g(x) = y - (-y) = 2y ; czyli:
  
  g(x) = y - | F(x) | =
  = 0 tam gdzie y >= 0
  = 2y w pozostałych miejscach
  Dziedziną funkcji g(x) jest R \ { 0 } bo "x" nie może być zerem.
  
  Rysujemy więc kolejno:
  - Wykres funkcji 1 / x - czarny wykres w załączniku
  - Przesuwamy go o 1 w pionie w dół. To nam daje wykres wzoru numer 1.
  (czerwony wykres w załączniku).
  Jak widać mamy y >= 0 jedynie w przedziale x należy do (0; 1 >
  - Rysujemy wykres funkcji 2 * F(x) (niebiesko - zielony wykres)
  podwajając wartości y z czerwonego wykresu.
  Punkt przecięcia tego wykresu z osią X jest taki sam, jak czerwonego.
  - Na odcinku (0; 1) rysujemy poziomą kreskę na osi X,
  bo wtedy g(x) = 0 gdyż y > 0.
  Resztę wykresu 2 * F(x) zostawiamy bez zmian
  
  Zielony wykres przedstawia szukane g(x).
  Nie przejmuj się pionową zieloną kreską na osi Y, ma jej nie być :)
  
  =====================
  
  Część trzecia "Dla jakich m...." [ załącznik "trzecia.pdf" ]
  
  Na potrzeby tej części przekształcamy równanie:
  
  | F(x) | = m^2 - 1 ; do postaci: | F(x) | + 1 = m^2
  
  Załącznik przedstawia wykres lewej strony tego równania.
  Ponieważ | F(x) | jest nieujemne, to po dodaniu 1 otrzymujemy wartości dodatnie.
  Pozioma zielona kreska to asymptota.
  Ponieważ F(x) = 1 + 1 / x to dla dużych dodatnich lub ujemnych "x" mamy
  F(x) ---> 1 ; więc po dodaniu 1 wyrażenie | F(x) | + 1 dąży do 2. Stąd asymptota.
  
  Z wykresu widać, że rozwiązania różnych znaków pojawiają się
  gdy obie zielone części wykresu leżą NAD poziomą kreską
  (przypominam, ze graficznie rozwiązanie równania: | F(x) | + 1 = m^2
  dostajemy przecinając zielony wykres poziomymi kreskami dla których y = m^2).
  TYLKO dla m^2 > 2 takie poziome kreski przetną wykres raz dla ujemnych,
  drugi raz dla dodatnich "x". Wobec tego:
  
  m^2 > 2 ; stąd:
  
  m należy do ( - oo; - pierwiastek(2) ) U ( pierwiastek(2); +oo)
  
  =========================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • wykresy.pdf (9 KB)

  • trzecia.pdf (6 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie