Wszystkie przykłady liczymy "przez części" w/g wzoru:
\int f'\cdot g = f \cdot g - \int f\cdot g'
Kropka tutaj to zwykłe mnożenie (NIE iloczyn skalarny).
Metoda na pewno była na wykładach, zobacz tylko znaczki "prim" (pochodna)
po obu stronach wzoru.
- istotne jest, że jedną z funkcji f, g trzeba całkować (zawsze),
a drugą różniczkować i trzeba inteligentnie wybrać funkcje - kandydatki.
jak się źle wybierze, to tylko "pogorszy" całkę do rozwiązania. Patrz niżej.
==================
Pierwsza całka od góry: Logarytm się źle całkuje więc przyjmujemy:
f ' (x) = x^2 oraz g(x) = ln(x).
Trzeba scałkować x^2 - daje to x^3/3
i różniczkować ln x, co daje 1 / x czyli:
\int x^2\,\ln x\,dx=\frac{1}{3}x^3\,\ln x -\int\left(\frac{1}{3}x^3\cdot\frac{1}{x} \right )\,dx=\frac{1}{3}x^3\,\ln x-\frac{1}{9}x^3
Jak się domyślasz skróciłem w drugiej całce x^3 przez x, mamy znów całkę z x^2.
Przedstaw proszę sobie ten końcowy wynik w ładniejszej postaci, jak lubisz :)
==================
Środkowa całka: Wygodnie będzie różniczkować "x" więc przyjmujemy:
f ' (x) = sin x ; oraz g(x) = x.
Pochodna g'(x) = 1; całka z sinusa to minus kosinus, więc:
\int x\,\sin x \,dx = -x\,\cos x +\int \cos x\,dx = -x\,\cos x + \sin x
Napisałem plus w środkowym wyrażeniu bo się znosi minus z podstawowego
wzoru i minus z całki z sinusa.
==================
Całka na dole: Tu się trzeba napracować. Też zróżniczkujemy x^2 jak wyżej,
tylko trzeba to zrobić 2 razy. Mamy na początku:
f ' (x) = sin x ; oraz g(x) = x^2.
Pochodna g'(x) = 2x; całka z sinusa to minus kosinus, więc:
\int x^2\,\sin x \,dx = -x^2\,\cos x +2\int x\,\cos x\,dx = (2-x^2)\cos x + 2x\,\sin x
Przepraszam, że nie liczę tu całki z x * cos(x), ale robi się to tak samo, jak
w środkowym przykładzie [ spróbuj - w końcu "OnaSama :) ] .
Wynik przepisałem z programu do symbolicznych obliczeń (Maxima),
Tam też sprawdzałem poprzednie całki. Bardzo polecam!
Jest "vmMaxima" - przyjemniejszy interface no i "Mathematica"
(to ostatnie albo płatne, albo crack'owane albo w sieci w wersji ograniczonej)
Da się zdobyć - nie mogę tu Ci napisać adresu do haka, zapytaj znajomych :)
==================
W razie pytań pisz proszę na priv
pozdro - Antek
PS: A, jeszcze podopisuj "+C" do wyników, jeśli jest to wymagane.
Jak dostaniesz całkę z iloczynu: sin(x) * cos(x)
to też 2 razy przez części [ wybór funkcji f, g - obojętny ]
i dostaje się całkę z tego samego iloczynu.
To jest śmieszny przykład, bo przecież ten iloczyn to sin(2x) / 2.
Ale JEST taka metoda, pamiętaj o niej:
lub
zarejestruj nowe konto.
1 0
antekL1 12.6.2015 (09:44)
Wszystkie przykłady liczymy "przez części" w/g wzoru:
\int f'\cdot g = f \cdot g - \int f\cdot g'
Kropka tutaj to zwykłe mnożenie (NIE iloczyn skalarny).
Metoda na pewno była na wykładach, zobacz tylko znaczki "prim" (pochodna)
po obu stronach wzoru.
- istotne jest, że jedną z funkcji f, g trzeba całkować (zawsze),
a drugą różniczkować i trzeba inteligentnie wybrać funkcje - kandydatki.
jak się źle wybierze, to tylko "pogorszy" całkę do rozwiązania. Patrz niżej.
==================
Pierwsza całka od góry: Logarytm się źle całkuje więc przyjmujemy:
f ' (x) = x^2 oraz g(x) = ln(x).
Trzeba scałkować x^2 - daje to x^3/3
i różniczkować ln x, co daje 1 / x czyli:
\int x^2\,\ln x\,dx=\frac{1}{3}x^3\,\ln x -\int\left(\frac{1}{3}x^3\cdot\frac{1}{x} \right )\,dx=\frac{1}{3}x^3\,\ln x-\frac{1}{9}x^3
Jak się domyślasz skróciłem w drugiej całce x^3 przez x, mamy znów całkę z x^2.
Przedstaw proszę sobie ten końcowy wynik w ładniejszej postaci, jak lubisz :)
==================
Środkowa całka: Wygodnie będzie różniczkować "x" więc przyjmujemy:
f ' (x) = sin x ; oraz g(x) = x.
Pochodna g'(x) = 1; całka z sinusa to minus kosinus, więc:
\int x\,\sin x \,dx = -x\,\cos x +\int \cos x\,dx = -x\,\cos x + \sin x
Napisałem plus w środkowym wyrażeniu bo się znosi minus z podstawowego
wzoru i minus z całki z sinusa.
==================
Całka na dole: Tu się trzeba napracować. Też zróżniczkujemy x^2 jak wyżej,
tylko trzeba to zrobić 2 razy. Mamy na początku:
f ' (x) = sin x ; oraz g(x) = x^2.
Pochodna g'(x) = 2x; całka z sinusa to minus kosinus, więc:
\int x^2\,\sin x \,dx = -x^2\,\cos x +2\int x\,\cos x\,dx = (2-x^2)\cos x + 2x\,\sin x
Przepraszam, że nie liczę tu całki z x * cos(x), ale robi się to tak samo, jak
w środkowym przykładzie [ spróbuj - w końcu "OnaSama :) ] .
Wynik przepisałem z programu do symbolicznych obliczeń (Maxima),
Tam też sprawdzałem poprzednie całki. Bardzo polecam!
Jest "vmMaxima" - przyjemniejszy interface no i "Mathematica"
(to ostatnie albo płatne, albo crack'owane albo w sieci w wersji ograniczonej)
Da się zdobyć - nie mogę tu Ci napisać adresu do haka, zapytaj znajomych :)
==================
W razie pytań pisz proszę na priv
pozdro - Antek
PS: A, jeszcze podopisuj "+C" do wyników, jeśli jest to wymagane.
Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie
antekL1 12.6.2015 (10:03)
Jak dostaniesz całkę z iloczynu: sin(x) * cos(x)
to też 2 razy przez części [ wybór funkcji f, g - obojętny ]
i dostaje się całkę z tego samego iloczynu.
To jest śmieszny przykład, bo przecież ten iloczyn to sin(2x) / 2.
Ale JEST taka metoda, pamiętaj o niej:
całka = coś + współczynnik * ta_sama_całka