Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 18.3.2015 (16:38)

  \frac{|2x-3|}{|x+4|} \leqslant 1
  
  Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych w wyłączeniem x = -4,
  bo wtedy mianownik staje się zerem.
  
  D = R \,\,\backslash \,\{-4\}
  
  Ponieważ w dziedzinie mianownik wskutek użycia wartości bezwzględnej
  jest zawsze dodatni możemy pomnożyć obie strony przez mianownik bez zmiany znaku
  
  |2x-3|\leqslant |x+4|
  
  Teraz rozważamy 4 przypadki i w zależności od znaku wyrażenia wewnątrz |...|
  albo zamieniamy |...| na minus(...) albo nie.
  
  1)
  2x - 3 >= 0 oraz x + 4 >= 0 ; czyli
  x >= 3/2 oraz x >= -4.
  Silniejszy jest warunek x >= 3/2 czyli x należy do (3/2; +oo)
  W tej sytuacji pozbywamy się obu wartości bezwzględnych bez zmiany znaku:
  
  2x-3\leqslant x+4
  
  co daje x <= 7.
  Łączymy ten wynik z zakresem jego stosowalności (czyli x >= 3/2)
  i mamy pierwszy zakres rozwązań:
  
  x\in\,\, <3/2;\, 7>
  
  2)
  2x - 3 >= 0 oraz x + 4 < 0 ; czyli
  x >= 3/2 oraz x < -4. To daje sprzeczność
  
  3)
  2x - 3 < 0 oraz x + 4 >= 0 ; czyli
  x < 3/2 oraz x >= -4. Pamiętajmy o dziedzinie. Dostajemy zakres: (-4; 3/2).
  W tej sytuacji lewą stronę nierówności bierzemy ze znakiem minus, co daje:
  
  -2x+3\leqslant x+4
  
  co daje x >= -1/3. Łączymy ten wynik z zakresem jego stosowalności
  i mamy drugi zakres rozwiązań
  
  x\in\,\, (-1/3;\, 3/2)
  
  4)
  2x - 3 < 0 oraz x + 4 < 0 ; czyli
  x < 3/2 oraz x < -4. Silniejszy jest warunek x < -4 czyli x należy do (-oo; -4).
  W tej sytuacji bierzemy obie strony nierówności ze znakiem minus, dostajemy:
  
  -2x+3\leqslant -x-4
  
  co daje x >= 7.
  Ale ten zakres jest rozłączny z zakresem stosowalności punktu (4).
  ---------------------
  
  W rezultacie mamy wyniki z punktów (1) i (3).
  Zauważ, że oba zakresy "zlepiają się w punkcie x = 3/2.
  Łączymy je i i mamy końcową odpowiedź,
  należącą w całości do dziedziny początkowej nierówności: Wynik:
  
  x\in\,\, (-1/3;\, 7)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie