Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.3.2015 (15:14)

  Jak wytniemy za mało to pudełko będzie miało dużą podstawę,
  ale małą wysokość. Jak wytniemy za dużo to dostaniemy wysokie pudełko,
  ale o mikrej podstawie. Wobec tego dla jakiejś głębokości "wcięcia"
  prawdopodobnie istnieje maksimum. Będziemy go szukać.
  
  Niech "x" będzie długością boku kwadratów, które wycięto.
  Stanie się też ono wysokością pudełka.
  Podstawa będzie miała wymiary: 36 - 2x oraz 24 - 2x, więc objętość V(x) wynosi:
  
  V(x) = x * (36 - 2x) * (24 - 2x) = 4x^3 - 120x^2 + 864x
  
  Z innych Twoich zadań wynika, że wolno mi użyć pochodnej.
  Szukamy maksimum funkcji V(x), bo w zadaniu jest powiedziane,
  że objętość ma być maksymalna. Liczymy:
  
  V ' (x) = 3 * 4x^2 - 2 * 120x + 864 = 12x^2 - 240x + 864
  
  Pochodna ma być równa zero. Podzielmy ją przez 12, aby były mniejsze liczby.
  Dostajemy równanie:
  
  x^2 - 20x + 72 = 0
  
  Rozwiązanie jest nieładne, z pierwiastkami (albo się pomyliłem)
  x1 = 10 - 2 * pierwiastek(7) = około 4,7
  x2 = 10 + 2 * pierwiastek(7) = około 15,3
  
  Teraz zauważ, jak zachowuje się pochodna (funkcja kwadratowa)
  Współczynnik przy x^2 jest dodatni,
  więc V ' (x) jest dodatnia i maleje gdy zbliżamy się do x1 z lewej strony,
  potem jest ujemna [ aż do punktu x2 ].
  Czyli funkcja V(x) rośnie gdy zbliżamy się do x1 z lewej strony.
  W punkcie x1 objętość osiąga MAKSIMUM więc x1 jest rozwiązaniem zadania.
  
  Szukane x = 10 - 2 * pierwiastek(7) = około 4,7
  
  (dla x = x2 objętość ma minimum, zresztą i tak nie da się takiego "x" wyciąć :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie