Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 20.11.2014 (09:10)

  Mamy F(x, y(x)) = 0; F jest funkcją podaną w zadaniu.
  Warunkiem koniecznym, aby równanie dało się rozwikłać jest
  aby cząstkowa pochodna F po y nie zerowała się. Liczymy tą pochodną:
  
  \frac{\partial}{\partial y}\left(x e^y -y^2+1 \right )=xe^y -2y\neq 0
  
  Załóżmy na razie że powyższa pochodna jest niezerowa i policzmy cząstkową pochodną F po x oraz pochodne drugiego rzędu; będzie to potrzebne do znalezienia pochodnych y po x.
  
  \frac{\partial}{\partial x}\left(x e^y -y^2+1 \right )=e^y
  
  \frac{\partial^2}{\partial y^2}F(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(xe^y -2y \right )=xe^y-2
  
  \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}F(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(xe^y -2y \right )=e^y
  
  \frac{\partial^2}{\partial x^2}F(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^y \right )=0
  
  Dalej oznaczam dla uproszczenia pochodne cząstkowe przez F' lub F''
  z indeksem x lub y, itp aby zapisać wzory na pochodne funkcji y(x).
  
  \frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial x}}=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac{e^y}{xe^y-2y}
  
  Teraz widać, dlaczego pierwsza pochodna cząstkowa F po y ma być niezerowa.
  
  Druga pochodna y po x. Makabra!
  Znalazłem w sieci "uproszczony" wzór z użyciem pierwszej pochodnej:
  
  \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{F''_{xx}+2F''_{xy}\,y'+F''_{yy}\,(y')^2}{F'_y}=-\frac{e^{2y}(xe^y-4y+2)}{(xe^y-2y)^3}
  
  Uwierz mi, że po podstawieniu do środkowego równania wszystkich obliczonych powyżej pochodnych wychodzi to, co po prawej stronie. Liczyłem programem :)
  
  ================
  
  Zbadajmy teraz możliwość rozwikłania y(x) czyli w jakich punktach jest to możliwe.
  Z równania na samym początku wychodzi zależność dla sytuacji, gdy F'_y = 0
  
  x = \frac{e^y}{2y}
  
  Wykres "x(y).pdf" w załączniku pokazuje zależność x(y)
  Na poziomej osi jest y, na pionowej x (odwrotnie, niż zazwyczaj).
  Dla wszystkich par (y,x) leżących na czarnej krzywej równania nie można rozwikłać.
  Analitycznie nie da się tych punktów określić, co najwyżej numerycznie.
  
  Dla wszystkich pozostałych punktów - teoretycznie istnieje
  [dla każdego punktu (x0,y0) poza czarną krzywą ]
  jednoznacznie określona w pewnym otoczeniu tego punktu funkcja y(x).
  
  Nie wiem, czy na tym ma polegać rozwiązanie tego zadania ?
  
  ================
  
  W razie pytań pisz proszę na priv.

  Załączniki

  • xy.pdf (5 KB)

  • kontur.pdf (16 KB)

  • 3d.pdf (70 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie