Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 19.11.2014 (00:30)

  Zad. 1.
  a)
  Pierwszą cyfrę losujemy ze zbioru cyfr bez 0, 1 i 3 czyli z {2,4,5,6,7,8,9}
  Można to zrobić na 7 sposobów.
  Drugą cyfrę losujemy też na 7 sposobów, bo wprawdzie odpada cyfra już wylosowana, ale możemy wybrać zero.
  Trzecią cyfrę losujemy z 6 pozostałych cyfr.
  
  W iloczynie daje to 7 * 7 * 6 = 294 liczby
  
  b)
  Pierwszą cyfrę losujemy na 7 sposobów jak wyżej.
  Drugą i trzecią na 8 sposobów bo dochodzi zero.
  
  W iloczynie daje to 7 * 8 * 8 = 448 liczb
  ===========================================
  
  Zad. 2.
  Policzymy ilość wszystkich liczb złożonych z cyfr jak w zadaniu,
  następnie zrobimy "sztuczkę".
  
  Pierwszą cyfrę losujemy ze zbioru {1,2,3,4,5} ( 5 sposobów )
  Kolejne 3 cyfry losujemy już z pełnego zbioru {0,1,2,3,4,5} ( po 6 sposobów )
  W iloczynie daje to:
  
  5 * 6 * 6 * 6 = 1080 liczb
  
  Teraz zauważ, że przy każdym ustawieniu abc pierwszych trzech cyfr istnieją:
  trzy parzyste zakończenia: abc0, abc2, abc4
  trzy nieparzyste zakończenia: abc1, abc3, abc5
  czyli liczby nieparzyste stanowią połowę wszystkich możliwych liczb.
  
  Szukana ilość liczb wynosi 1080 / 2 = 540
  ===========================================
  
  Zad. 3.
  A = { (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3) } [ jest 6 takich zdarzeń, m(A) = 6 ]
  B = { (4,6); (6,4); (5,5); (5,6); (6,5); (6,6) } [ jest 6 takich zdarzeń, m(A) = 6 ]
  
  Ilość zdarzeń elementarnych to ilość wariacji w z 6 czyli
  
  m(Omega) = 6^2 = 36.
  
  Prawdopodobieństwa:
  
  p(A) = m(A) / m(Omega) = 6 / 36 = 1 / 6
  p(B) = m(B) / m(Omega) = 6 / 36 = 1 / 6
  p(A ' ) = 1 - p(A) = 5 / 6
  p(B ' ) = 1 - p(B) = 5 / 6
  Jeśli przyjrzymy się zbiorom A i B to zauważamy, że są one rozłączne
  (elementy nie powtarzają się).
  Wobec tego A n B jest zbiorem pustym i p(A n B) = 0
  Z tego samego powodu
  p(A u B) = p(A) + p(B) = 2 / 6 = 1 / 3
  ===========================================
  
  Zad. 4.
  Zbiór zdarzeń elementarnych to zbiór liczb 2-cyfrowych, których cyfry nie powtarzają się, ale kolejność cyfr jest istotna. Ilość tych zdarzeń to ilość wariacji bez powtórzeń 2 z 8 czyli
  
  m(Omega) = 8! / (8-2)! = 8 * 7 = 56
  
  Zdarzenie A:
  Losujemy dwie cyfry ze zbioru {1,3,5,7}.
  Mamy wariacje bez powtórzeń 2 z 4 czyli
  
  m(A) = 4! / (4-2)! = 4 * 3 = 12
  
  Prawdopodobieństwo p(A) = m(A) / m(Omega) = 12 / 56 = 3 / 14
  
  Zdarzenie B:
  Wypisujemy możliwości:
  B = { (1,7}; {7,1}; (2,6); (6,2); (3,5); (5,3) } [ ale nie (4,4) ]
  Jest 6 takich liczb.
  
  m(B) = 6
  
  Prawdopodobieństwo p(B) = m(B) / m(Omega) = 6 / 56 = 3 / 28
  ===========================================
  
  Zad. 5.
  Używamy wzoru:p(A u B) = p(A) + p(B) - p(A n B) z którego wynika, że
  
  p(A n B) = p(A) + p(B) - p(A u B) = 2/5 + 1/3 - 11/15 = 0
  
  Zdarzenia są rozłączne bo prawdopodobieństwo ich iloczynu jest zerowe,
  ale NIE wykluczają się.
  Gdyby się wykluczały to suma p(A) + p(B) powinna dawać 1, a tymczasem:
  2/5 + 1/3 = 11/15
  ===========================================
  
  Zad. 6.
  Zbiór zdarzeń elementarnych to zbiór czwórek (a,b,c,d)
  gdzie a,b,c,d pochodzą ze zbioru { orzeł, reszka }.
  Powtórzenie są dozwolone, kolejność jest istotna, ilość zdarzeń elementarnych jest więc równa ilości wariacji z powtórzeniami 4 z 2 czyli:
  
  m(Omega) = 2^4 = 16.
  
  a)
  "co najmniej 3 orły" oznacza 3 lu 4 orły. Wypiszmy te zdarzenia:
  
  A = { (OOOR); (OORO); (OROO); (ROOO); (OOOO) }
  
  Jest 5 zdarzeń A; m(A) = 5.
  
  Prawdopodobieństwo: p(A) = m(A) / m(Omega) = 5 / 16
  
  b)
  "co najmniej 2 razy" oznacza 2, 3, lub 4 razy.
  Ilość przypadków "3 lub 4 razy" znaleźliśmy powyżej.
  Zamiast wypisywać przypadki "2 orły 2 reszki" obliczmy ich ilość [ tak samo powyżej mogliśmy policzyć ilość możliwości, ale wypisać je było prościej ]
  
  Losujemy wśród 4 pozycji 2 pozycje dla orłów. Są to kombinacje 2 z 4.
  Ich ilość to:
  
  4! / [ 2! * (4-2)! ] = 4 * 3 / 2 = 6
  
  Czyli zdarzeń sprzyjających jest: m(B) = 5 + 6 = 11
  
  Prawdopodobieństwo: p(B) = m(B) / m(Omega) = 11 / 16
  ----------------
  
  Można to zadanie (część b) rozwiązać też inaczej [ i prościej ]. Zauważ że zdarzeniem przeciwnym do B jest zdarzenie "0 lub 1 orzeł", co oznacza 3 lub 4 reszki. Ale szansa na 3 lub 4 reszki jest taka sama, jak na 3 lub 4 orły, czyli 5 / 16. Wobec tego od razy mamy:
  
  p(B) = 1 - 5 / 16 = 11 / 16.
  ===========================================
  
  Zad. 7.
  Możemy wylosować:
  "1" na 1 sposób czyli p(n=1) = 1 / 6
  "2" na 2 sposoby czyli p(n=2) = 1 / 3
  "3" na 2 sposoby czyli p(n=3) = 1 / 3
  "4" na 1 sposób czyli p(n=4) = 1 / 6
  
  Tabelka (kolumnami, w pierwszej kolumnie liczba oczek "n" w drugiej p(n)
  1 1/6
  2 1/3
  3 1/3
  4 1/6
  
  Prawdopodobieństwo liczby oczek < 4:
  n < 4 oznacza 1, 2 lub 3 oczka.
  Te zdarzenia są rozłączne więc
  
  p(n < 4) = p(n=1) + p(n=2) + p(n=3) = 1 / 6 + 1 / 3 + 1 / 3 = 5 / 6
  --------------
  
  Można też prościej liczyć przez zdarzenie odwrotne: "wypadły 4 oczka".
  Wtedy
  
  p(n < 4) = 1 - p(n=4) = 1 - 1 / 6 = 5 / 6.
  ===========================================

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie