Treść zadania

Najlepsze rozwiązanie

• 

  1 0

  antekL1 18.11.2014 (07:03)

  Hmm, w załączniku są równania 3-go stopnia, czy chodzi o to, aby je rozwiązać?
  W taki sposób, aby najpierw "zgadnąć" jeden pierwiastek, np. x1,
  a potem podzielić podany wielomian przez (x - x1) ?
  
  Jeśli tak, to przykładu (c) nie da się rozwiązać w taki sposób, bo nie ma całkowitych pierwiastków tego równania. Pozostałe przypadki:
  
  (a)
  Tutaj łatwo "zgadnąć jeden z pierwiastków:
  Zapiszmy równanie tak: 2x^2(x-2) + (x-2) = 0
  Widać, że wielomian da się podzielić przez x - 2 i powinno wyjść 2x^2 + 1.
  Dzielimy:
  
  2x^3 - 4x^2 + x - 2 | x - 2
  
  Patrzymy ile razy 'x' w najwyższej potędze dzielnika (czyli wyrażenia x - 2)
  "zmieści się" w najwyższej potędze dzielonego wielomianu (czyli w 2x^3).
  Wychodzi, że 2x^2 razy.
  Mnożymy (x - 2) * 2x^2 = 2x^3 - 4x^2
  i podpisujemy to wyrażenie pod dzielonym wielomianem
  
  2x^3 - 4x^2 + x - 2
  2x^3 - 4x^2
  ---------------- odejmujemy, zostaje:
  x - 2
  
  Teraz powtarzamy to samo. x - 2 "zmieści się" w x - 2 tylko 1 raz
  
  x - 2
  x - 2
  --------------- odejmujemy, zostaje zero.
  0
  
  Mamy rezultat z dzielenia: 2x^3 - 4x^2 + x - 2 | x - 2 = 2x^2 + 1
  ========================
  
  (b)
  Szukamy pierwiastka wśród podzielników wyrazu wolnego, czyli sprawdzamy:
  1, -1, 2, -2.
  Na szczęście od razu trafiamy: 3*1^3 - 6*1^2 + 1 + 2 = 0
  czyli x1 = 1 jest pierwiastkiem tego równania. Dzielimy wielomian przez x - 1.
  
  3x^3 - 6x^2 + x + 2 | x - 1
  
  x - 1 "mieści się" w 3x^3 w ilości 3x^2.
  Mnożymy (x - 1) * 3x^2 = 3x^3 - 3x^2; podpisujemy i odejmujemy:
  
  3x^3 - 6x^2 + x + 2
  3x^3 - 3x^2
  ------------------------- odejmujemy, zostaje:
  -3x^2 + x + 2
  
  We wielomianie, który został "x - 1" mieści się -3x razy.
  (x - 1) * (-3x) = -3x^2 + 3x
  
  -3x^2 + x + 2
  -3x^2 + 3x
  ------------------------- odejmujemy, zostaje:
  -2x + 2
  
  We wielomianie, który został "x - 1" mieści się -2 razy.
  (x - 1) * (-2) = -2x + 2
  
  -2x + 2
  -2x + 2
  ------------------------- odejmujemy, zostaje zero
  0
  
  Czyli 3x^3 - 6x^2 + x + 2 | x - 1 = 3x^2 - 3x - 2
  ==================
  
  Oczywiście nie zawsze da się podzielić dowolny wielomian przez inny, niższego stopnia. Czasem wychodzi reszta, np. gdyby w ostatnim przykładzie nie było "+ 2" na końcu to dostalibyśmy:
  
  3x^3 - 6x^2 + x | x - 1 = 3x^2 + ?
  3x^3 - 3x^2
  ---------------------
  -3x^2 + x | x - 1 = 3x^2 -3x + ?
  -3x^2 + 3x
  --------------------
  -2x | x - 1 = 3x^2 -3x - 2
  -2x + 2
  -------------------
  -2 <----------------------- to jest reszta z dzielenia.
  Stopień reszty jest zawsze niższy niż wielomianu, przez który dzielimy.
  
  3x^3 - 6x^2 + x | x - 1 = 3x^2 - 3x - 2 i reszta -2
  ======================
  
  Czy o to Ci chodziło?

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    OnaSama 18.11.2014 (14:12)

    antekL1 dokładnie o to chodziło :)