Treść zadania

Rozwiązania

• 

  1 0

  antekL1 6.11.2014 (23:25)

  1.
  a)
  Losujemy 3 kule czarne z 6 czarnych będących w pojemniku.
  Ilość sposobów to ilość kombinacji 3 z 6 czyli
  
  \bar{\bar{A}} = {6 \choose 3} = \frac{6!}{3!\cdot 3!} = \frac{6\cdot 5\cdot 4}{6} = 20
  
  b)
  Losujemy 2 czarne kule z 6 (kombinacje 2 z 6)
  i jedną białą z 4 (kombinacje 1 z 4)
  
  \bar{\bar{B}} = {6 \choose 2}\cdot {4\choose 1} = \frac{6!}{2!\cdot 4!}\cdot \frac{4!}{1!\cdot 3!} = 15\cdot 4 = 60
  
  c)
  To samo co (b) bo dwie pozostałe kule muszą być czarne.
  
  d)
  Czyli jedną, dwie lub 3 czarne. W tym zadaniu mamy policzone już przypadki 2 lub 3 czarnych, wystarczy policzyć szansę na jedną czarną i dwie białe.
  Losujemy 1 czarną kule z 6 (kombinacje 1 z 6)
  i dwie białe z 4 (kombinacje 2 z 4)
  
  \bar{\bar{D_1}} = {6 \choose 1}\cdot {4\choose 2} = \frac{6!}{1!\cdot 5!}\cdot \frac{4!}{2!\cdot 2!} = 6\cdot 6 = 36
  
  Sumujemy ten wynik i wyniki z części (a) i (b)
  
  $\bar{\bar{D}} = \bar{\bar{D_1}} + \bar{\bar{A}} + \bar{\bar{B}} = 20 + 60 + 36 = 116$.
  
  Można to rozwiązać jeszcze w inny sposób.
  Dowolną kombinację 3 kul z 10 które są w pojemniku można wylosować
  na ilość sposobów równą ilości kombinacji 3 z 10 czyli
  
  \bar{\bar{\Omega}} = {10 \choose 3} = \frac{10!}{3!\cdot 7!} = 120
  
  Zdarzenie przeciwne do "co najmniej 1 czarna" to "wszystkie białe".
  Trzy białe kule z 4 losujemy na 4 sposoby (kombinacje 3 z 4)
  
  \bar{\bar{B_3}} = {4 \choose 3} = \frac{4!}{3!\cdot 1!} = 4
  
  Skoro 4 sposoby przypada na zdarzenie przeciwne to nasze zdarzenie
  realizuje się na pozostałe 120 - 4 = 116 sposobów.
  =======================================
  
  
  2.
  a)
  NIE można po prostu wziąć połowy przypadków losowań liczb 3-cyfrowych
  o różnych cyfrach (czyli 10*9*8 / 2 ) gdyż pierwszą cyfrą nie może być zero,
  poza tym ilość wyborów ostatniej cyfry zależy od wyboru pierwszej i drugiej.
  
  Rozpatrzmy 4 przypadki:
  
  a1) Dwie pierwsze cyfry są parzyste.
  Pierwsza cyfra może pochodzić ze zbioru { 2,4,6,8 } (4 możliwości),
  druga cyfra ze zbioru { 0,2,4,6,8} - znów 4 możliwości, bo wprawdzie dochodzi zero, ale odpada cyfra wylosowana jako pierwsza.
  Trzecia cyfra musi też być parzysta więc mamy tylko 3 możliwości.
  W iloczynie ten przypadek daje 4 * 4 * 3 = 48 liczb.
  
  a2) Pierwsza cyfra jest parzysta (4 możliwości),
  druga cyfra jest nieparzysta ze zbioru { 1,3,5,7,9 } - 5 możliwości
  trzecia musi być parzysta - 4 możliwości jak poprzednio
  W iloczynie ten przypadek daje 4 * 5 * 4 = 80 liczb.
  
  a3) Pierwsza cyfra jest nieparzysta - 5 możliwości
  druga parzysta - też 5 możliwości, bo może być zero
  trzecia musi być parzysta - 4 możliwości jak poprzednio
  W iloczynie ten przypadek daje 5 * 5 * 4 = 100 liczb.
  
  a4) Dwie pierwsze cyfry są nieparzyste,
  pierwsza cyfra - 5 możliwości, druga cyfra - 4 mozliwości.
  Trzecia musi być parzysta - 5 możliwości
  W iloczynie ten przypadek daje 5 * 4 * 5 = 100 liczb.
  
  Sumujemy wszystkie wyniki: 48 + 80 + 100 + 100 = 328 liczb
  
  ------------------
  
  b)
  Aby liczba była podzielna przez 25 to jej druga i trzecia cyfra mogą być:
  00, 25, 50, 75.
  Przypadek 00 odpada gdyż każda cyfra ma być inna.
  Przypadki 25 i 75. Pierwszą cyfrą nie może być zero czyli zostaje 7 cyfr.
  Przypadek 50. Zostaje 8 cyfr bo zero jest już użyte.
  Razem mamy 7 + 7 + 8 = 22 liczby
  
  -----------------
  
  c)
  Pierwszą cyfrą może być 7, 8 lub 9
  Znów musimy specjalnie wyróżnić przypadek, gdy pierwszą cyfrą jest 7.
  
  c1) Pierwszą cyfrą jest 7.
  Drugą cyfrą może być wtedy 6, 8 lub 9
  Jeżeli drugą cyfrą jest 6 to trzecią może być tylko 8 lub 9 - 2 liczby, 768 i 769
  Jeśli drugą cyfrą jest 8 lub 9 to trzecia jest dowolna z pozostałych 8 cyfr.
  Ten przypadek daje 2 + 2 * 8 = 18 liczb.
  
  c2) Pierwszą cyfrą jest 8 lub 9.
  Druga jest dowolna z pozostałych 9 cyfr
  Trzecia jest dowolna z pozostałych 8 cyfr
  Ten przypadek daje 2 * 9 * 8 = 144 liczby
  
  Razem mamy 144 + 18 = 162 liczby.
  
  ----------------
  
  d)
  Pierwszą cyfrą może być 1,2,3 lub 4.
  Przypadek "4" traktujemy specjalnie.
  
  d1) Pierwszą cyfrą jest 4.
  Drugą cyfrą może być 2 i wtedy mamy 3 możliwości (420, 421, 423)
  lub druga cyfra to 0 lub 1, a wtedy trzecią wybieramy z 8 pozostałych.
  Ten przypadek daje 3 + 2 * 8 = 19 liczb.
  
  d2) Pierwszą cyfrą jest 1,2 lub 3
  Drugą cyfrę wybieramy z 9 pozostałych, trzecią z 8 pozostałych.
  Ten przypadek daje 3 * 9 * 8 = 216 liczb.
  
  Razem mamy 216 + 19 = 235 liczb.
  
  =======================================
  
  Mam nadzieję, że się nie pomyliłem w drugim zadaniu :)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie

  • 

    emilkacyran123 7.11.2014 (10:04)

    kopia