Treść zadania

Rozwiązania

• 

  0 0

  antekL1 4.11.2014 (12:58)

  Czy chodzi o znalezienie najmniejszej odległości punktu (0,2)
  od wykresu y = 4t^2-3 i równania prostej, która tą odległość zawiera ?
  
  Jeśli tak, to ja bym liczył w taki sposób:
  
  Funkcja y(t) przedstawia parabolę w kształcie litery U, symetryczną względem osi Y,
  Wierzchołek paraboli leży w punkcie (0,-3) i na pewno odcinek łączący punkty
  (0,2) i (0,-3) jest jedną z dróg prostopadłych do paraboli,
  ale niekoniecznie najkrótszą, istnieją jeszcze dwa inne odcinki prostopadłe.
  
  Wystarczy brać pod uwagę KWADRAT szukanej odległości L;
  jeśli on jest najmniejszy to odległość też jest najmniejsza.
  Ten kwadrat wynosi:
  
  L^2 = (y - 2)^2 + (t - 0)^2
  
  Po podstawieniu y = 4t^2 - 3
  i wymnożeniu nawiasów dostajemy zależność L^2 od t:
  
  L^2 = 16t^4 - 39t + 25
  
  (wykresem tej funkcji jest krzywa przypominająca "W" z zaokrąglonymi minimami,
  ale to mało istotne).
  Znajdujemy ekstrema lokalne. Różniczkujemy L^2(t) po t.
  
  dL^2 / dt = 64 t^3 - 78 t. = 0
  
  Mamy 3 rozwiązania:
  t1 = 0 - to odpowiada pionowej linii między punktami (0,2) i (0,-3)
  t2 = +pierwiastek(78) / 8 - to jest ukośny odcinek prostopadły do paraboli
  t3 = -pierwiastek(78) / 8 - jak wyżej, tylko z drugiej strony osi Y.
  
  Łatwo sprawdzić, podstawiając do wzoru na L^2, że
  L^2(0) = 25 ; oraz
  L^2(t2) = L^2(t3) = 79 / 64 ; zdecydowani mniej niż 25.
  
  Punkty paraboli o współrzędnych t równych t2 lub t3
  odpowiadają przecięciom paraboli z najkrótszymi ścieżkami.
  Podstawiamy t2 lub t3 do równania paraboli i dostajemy:
  
  y2(t2) = y3(t3) = 4 t2^2 - 3 = 15 / 8
  
  Szukane ścieżki przecinają parabolę odpowiednio w punktach:
  
  P2 = [ t2, y2 ] = [ +pierwiastek(78) / 8 ; 15/8 ] oraz
  P3 = [ t3, y3 ] = [ -pierwiastek(78) / 8 ; 15/8 ]
  
  Teraz wystarczy znaleźć równanie prostej łączącej punkt P2 i punkt (0,2).
  Używamy "szkolnych" metod i mamy:
  
  y = (y2 - 2) / (t2 - 0) * t + y2 = [ - 1 / pierw(78) ] t + 15 / 8
  
  i druga prosta:
  
  y = (y3 - 2) / (t3 - 0) * t + y3 = [ + 1 / pierw(78) ] t + 15 / 8
  
  
  W załączniku masz rysunek paraboli i tych dwóch prostych.

  Załączniki

  • rys.pdf (5 KB)

  Dodawanie komentarzy zablokowane - Zgłoś nadużycie